Algorithmes algébriques et numériques pour la décomposition de tenseurs symétriques

Algebraic and Numerical Algorithms for Symmetric Tensor Decompositions

• Auteur / Autrice : Subhayan Saha
• Direction : Pascal Koiran
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 08/12/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....) - Modèles de calcul, Complexité, Combinatoire
• Jury : Président / Présidente : Evelyne Hubert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Koiran, Evelyne Hubert, Srikanth Srinivasan, Carlos Beltran, Sébastien Tavenas
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Srikanth Srinivasan, Carlos Beltran

Mots clés

Mots clés libres

Tenseurs

Algorithmes algébriques

Algorithmes numériques

Tenseurs symétriques

Tensors

Algebraic

Numerical

Algorithms

Résumé

Un tenseur symétrique est un tableau multidimensionnel dont les entrées sont invariantes sous toutes les permutations de ses indices et il est équivalent à un polynôme homogène dont le degré est égal à l’ordre du tenseur. Dans cette thèse, nous étudions la décomposition d’un tenseur symétrique d’ordre d, noté T , sur C en tant que somme de tenseurs symétriques de rang un, c’est-à-dire T peut être écrit comme la somme de r tenseurs d'ordre-d de puissances de u_i, où u_i ∈ C^n. . Afin d’obtenir des algorithmes efficaces, il est nécessaire d’ajouter certaines restrictions à ces tenseurs. Dans la plupart de nos algorithmes, nous traitons le cas où les u_i sont linéairement indépendants et une telle décomposition est essentiellement unique. Cela implique que le nombre de termes de la somme, r, soit au plus n, et si r = n, le tenseur est appelé diagonalisable. Étant donné un tenseur T , nous nous intéressons aux deux questions algorithmiques suivantes : 1) est-il diagonalisable ? et 2) s’il est diagonalisable, produire une décomposition. Nous répondons à la première question dans le cadre du modèle de calcul algébrique. Plus précisément, en ayant accès à un oracle pour une boîte noire représentant le polynôme homogène de degré d équivalent à un tenseur d’ordre d, T sur C, nous pouvons vérifier en temps polynomial (en n et d) dans le modèle de calcul de Blum-Shub-Smale si le tenseur est diagonalisable ou non. Nous étendons également cela au cas où le nombre de termes de la somme est strictement inférieur à n. Nous donnons également un algorithme numériquement stable qui résout approximativement la deuxième question. Plus formellement, étant donné un tenseur symétrique d’ordre 3, T , qui est diagonalisable, et un paramètre de précision souhaité ε, nous donnons un algorithme qui produit une décomposition qui est ε-proche (au sens de la norme l_2 ) de la décomposition réelle. Il s’exécute en temps linéaire et nécessite un nombre de bits polylogarithmique de précision lorsqu’il est exécuté sur une machine à précision finie.

A symmetric tensor is a multi-dimensional array with entries that are invariant under all permutations of its indices and it is equivalent to a homogeneous polynomial with degree equal to the order of the tensor. In this thesis, we study in the decomposition of an order-d symmetric tensor T over C as a sum of symmetric rank-one tensors, that is, T can be written as sum of r-many d-th order tensor powers of u_i, where u_i in C^n . In order to obtain efficient algorithms, it is necessary to add certain restrictions to these tensors. In most of our algorithms throughout this thesis, we treat the case where the u_i ’s are linearly independent and such a decomposition is essentially unique. This forces the number of summands, r to be at most n and if r = n, then the tensor is called diagonalisable.Given a tensor T , we are interested in the following two algorithmic questions: 1) is it diagonalisable? and 2) if it is diagonalisable, output a decomposition. We give an answer to the first question in the algebraic model of computation. More specifically, given oracle access to a blackbox for the degree-d homogeneous polynomial equivalent to an order-d tensor T over C, we can verify in polynomial (in n, d) time in the Blum-Shub-Smale model of computation, whether the tensor is diagonalisable or not. We also extend this to the case where the number of summands is strictly less than n. We also give a numerically-stable algorithm that solves the second question approximately. More formally, given an order-3 symmetric tensor T that is diagonalisable and a desired accuracy parameter ε, we give an algorithm that outputs a decomposition which is ε-close (in the l_2 norm) to the actual decomposition. It runs in linear time and requires polylogarithmic bits of precision when run on a finite precision machine.