Limites semi-classiques pour des fermions 2D sous forts champs magnétiques

Semi-classical limits of 2D fermions under high magnetic fields

• Auteur / Autrice : Denis Perice
• Direction : Nicolas Rougerie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/10/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Lewin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Rougerie, Mathieu Lewin, Chiara Saffirio, Nicolas Raymond, Laure Saint-Raymond, Thierry Champel, Sören Petrat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Chiara Saffirio, Nicolas Raymond

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fermions

Mots clés libres

Semi-classique

Fort champ magnétique

Fermions 2D

Hartree Gyro-cinétique

Mean field

Semi-classical

High magnetic field

2D fermions

Hartree Gyrokinetic

Mean field

Résumé

Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de systèmes de fermions dans la limite où le nombre de particules tend vers l’infini. L’étude de ce genre de systèmes nécessite de calculer les énergies et densités des états physiques. Ce problème est extrêmement difficile à résoudre même numériquement en raison des interactions et des corrélations entre les particules. En effet avec un grand nombre de particules l'espace de Hilbert représentant l'espace des états possibles du système est immense. Cependant, l'objectif général est d'obtenir des théories effectives où l'énergie ne dépend que de la densité de particules (théorie fonctionnelle de la densité). Dans le cadre de la thèse, nous nous intéressons plus précisément à des fermions sans spin confinés dans un espace à deux dimensions soumis à un fort champ magnétique transverse et homogène. C’est à dire que l'amplitude du champ magnétique tend vers l'infini en même temps que le nombre de particules. Ce contexte physique est motivé par l’effet Hall quantique. Les principaux outils proviennent de l’analyse semi-classique mais aussi plus généralement de la théorie spectrale et de l’analyse fonctionnelle. Après un premier chapitre introductif situant les résultats principaux par rapport à la bibliographie, le deuxième chapitre de la thèse reprend le contenu de la prépublication “Multiple Landau level filling for a mean field limit of 2D fermions”. Dans ce travail, nous étudions la limite de champ moyen, couplée à une limite semi-classique et fort champ magnétique, pour l’état fondamental du système de fermions. En physique classique, les particules chargées soumises à un champ magnétique transverse et homogène décrivent des orbites. En mécanique quantique, l'énergie cinétique est quantifiée en niveaux d'énergie discrets appelés niveaux de Landau, séparés par un gap constant. Les résultats principaux de cet article étendent des travaux de Lieb-Solovej-Yngvason et Fournais-Madsen en considérant un régime où le gap entre niveaux de Landau est l’échelle dominante d'énergie par rapport aux interactions. De plus, les particules sont placées dans un domaine borné, permettant à la dégénérescence des niveaux de Landau d’être finie. Nous obtenons ainsi un modèle limite où un nombre arbitraire de niveaux de Landau sont remplis. Les travaux existants, utilisant un confinement par un potentiel de piégeage, ne peuvent décrire cette situation. Nous discutons aussi de la physique du modèle limite dans le dernier niveau de Landau partiellement rempli.Le dernier chapitre présente un résultat sur la dynamique dans le même contexte que le chapitre précédent. Notre point de départ est l’équation de Hartree pour la première matrice densité. Il est bien connu que cette équation peut être obtenue par une approximation de champ moyen de la dynamique de Schrödinger à N corps pour des fermions en interaction. Nous étudions une limite fort champ magnétique, couplée avec une limite semi-classique et prouvons que la densité converge vers une solution d’une équation de transport gyro-cinétique. Dans un cadre de mécanique classique, des travaux de Golse-St-Raymond obtiennent des résultats similaires avec comme point de départ l’équation de Vlasov. Plus récemment un travail dans la limite semi-classique de Ben Porat traite le cas où le gap entre niveaux de Landau est très petit devant les interactions. La nouveauté principale de notre résultat est de considérer le régime quantique au départ où le gap entre niveaux de Landau est du même ordre de grandeur que l’énergie d’interaction. La preuve consiste à construire une densité semi-classique dont l’évolution en temps est obtenue puis comparée à l’équation cible.

This thesis is about the mathematical analysis of fermionic systems in the large number of particles limit. The study of this kind of systems requires computing the energies and densities of the physical states. This problem is extremely difficult to solve, even numerically, due to the interactions and correlations between particles. Indeed, with a large number of particles, the Hilbert space representing the space of possible states of the system is very large. However, the general goal is to obtain effective theories where the energy only depends on the particle density (density functional theory). More precisely, we consider spinless fermions confined in a two-dimensional space subjected to a strong transverse and homogeneous magnetic field. That is to say the amplitude of the magnetic field goes to infinity simultaneously with the number of particles. This physical context is motivated by the quantum Hall effect. The main tools come from semi-classical analysis but also more generally from spectral theory and functional analysis.After a first introductory chapter contextualising the main results in the bibliography, the second chapter is based on the content of the pre-publication “Multiple Landau level filling for a mean field limit of 2D fermions”. In this work, we study the mean field limit, coupled with a semi-classical and strong magnetic field limit, of the fermionic system's ground state. In classical physics, charged particles subjected to a transverse and homogeneous magnetic field describe orbits. In quantum mechanics, kinetic energy is quantized into discrete energy levels called Landau levels, separated by a constant gap. The main results of this paper extend work by Lieb-Solovej-Yngvason and Fournais-Madsen by considering a regime where the gap between Landau levels is the dominant energy scale compared to the interactions. Moreover, the particles are placed in a bounded domain, allowing the degeneracy of the Landau levels to be finite. We thus obtain a limit model where an arbitrary number of Landau levels are filled. Existing works, using confinement by a trapping potential, cannot describe this situation. We also discuss the physics of the limit model in the last partially filled Landau level.The last chapter presents a result on the dynamics in the same context as the previous chapter. Our starting point is the Hartree equation for the first density matrix. It is well known that this equation can be obtained by a mean-field approximation of the many-body Schrödinger dynamics for interacting fermions. We study a strong magnetic field limit, coupled with a semi-classical limit and prove that the density converges to a solution of a gyrokinetic transport equation. In a classical mechanics framework, Golse-St Raymond obtained similar results with the Vlasov equation as starting point. More recently, a work of Ben Porat in the semi-classical limit deals with the case where the gap between Landau levels is very small compared to the interactions. The main novelty of our result is to consider a quantum regime where the gap between Landau levels is of the same order as the interaction energy. The proof consists in constructing a semi-classical density for which the dynamic is obtained and then compared to the target equation.