Simulation d'écoulements bi-fluides immiscibles de Stokes par des méthodes hybrides non conformes et des maillages immergés

Simulation of two-fluid immiscible Stokes flows using hybrid nonconforming methods and geometrically unfitted meshes

• Auteur / Autrice : Stefano Piccardo
• Direction : Alexandre Ern, Antonio Huerta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2023
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC en cotutelle avec Universitat politècnica de Catalunya - BarcelonaTech
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : INIA LA SERENA CHL - Universitat politècnica de Catalunya - BarcelonaTech - Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Pedro Díez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandre Ern, Christoph Lehrenfeld, Christophe Prud'homme, Angelo Iollo, Stella Krell, Claire Chainais-Hillairet, Matteo Giacomini
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christoph Lehrenfeld, Christophe Prud'homme

Mots clés

Mots clés contrôlés

Eau

Contraintes (mécanique)

Mécanique des fluides

Splines, Théorie des

Mots clés libres

Méthodes de discrétisation hybrides

Maillages immergés

Écoulements de deux fluides de Stokes immiscibles et incompressibles

Tension surfacique

Fonction de niveau

Nurbs

Hybrid discretization methods

Unfitted meshes

Immiscible incompressible Stokes flows

Surface tension

Level-Set methods

Nurbs

Résumé

On considère des écoulements de deux fluides de Stokes immiscibles séparés par une interface avec tension surfacique. On développe, analyse et compare deux approches pour la discrétisation spatiale, la méthode hybride d'ordre élevé (HHO) et celle de Galerkin discontinue hybridisable (HDG), toutes deux combinées avec des maillages immergés ne tenant pas compte de la position de l'interface. Les deux méthodes ne placent pas d'inconnue discrète sur l'interface, et on observe une décroissance optimale de l'erreur et une croissance optimale du conditionnement du système linéaire. La première partie de la thèse traite du solveur HHO avec une interface décrite par une fonction de niveau et approchée par des éléments finis isoparamétriques. On utilise la méthode pour étudier le problème d'équilibre avec un cisaillement imposé à l'infini, en particulier la dépendance de l'eccentricité de l'interface (qui est de forme elliptique) avec le rapport entre forces de cisaillement et tension de surface. On explore ensuite des situations où la forme de l'interface est inconnue. On met au point une méthode itérative de point fixe qui alterne entre une étape de transport de la fonction de niveau pour l'interface et le solveur de Stokes sur maillage immergé. Dans la deuxième partie de la thèse, le solveur HDG est combiné avec une description de l'interface et de la frontière extérieure par des splines (NURBS), ce qui simplifie grandement le traitement de données de type CAD. Le solveur HDG est utilisé pour des écoulements à un et deux fluides dans des applications en micro-fluidique, comme l'écoulement dans un micro-mélangeur et l'émulsions en milieu poreux. Dans les deux cas, on utilise un estimateur d'erreur permettant d'adapter le degré polynomial, et d'obtenir une précision à deux chiffres significatifs. Dans la troisième partie de la thèse, les méthodes HHO et HDG sont comparées pour des problèmes de Stokes à un et deux fluides. Dans les cas les plus simples, on montre que HHO et HDG peuvent seulement différer dans le choix des espaces discrets locaux et la forme de la stabilisation.

We consider two-fluid problems involving immiscible Stokes fluids in contact and with surface tension at their interface.We develop, analyze, and compare two approaches for space discretization, the Hybrid High-Order (HHO) and the Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) methods, both combined with a geometrically unfitted approach to handle fluid interfaces. Both methods do not place discrete unknowns on the interface, and for both methods, we observe optimal error decay and condition number growth.The first part of the Thesis deals with the unfitted HHO solver, where the interface is described by a level-set function and discretized using isoparametric finite elements.We use the methodology to study the equilibrium problem with a shear flow imposed at infinity, and we investigate the relationship between the eccentricity of the ellipse-shaped interface at equilibrium and the ratio of shear to surface tension force.Then, we explore settings where the shape of the interface is unknown. We devise a fixed-point iterative procedure that alternates a transport step for the level-set function with the unfitted HHO solver with frozen interface.In the second part of the Thesis, the unfitted HDG solver is combined with a NURBS description of the interface and of the external boundary, enabling a seamless transition from CAD geometries.We use this solver to study one- and two-fluid Stokes problems with applications in microfluidics related to microfluidic mixers and to emulsion flows in porous media.Both applications employ a polynomial-adaptivity error estimator, delivering results with at least two significant digits.Finally, in the third part of the Thesis, the HDG and HHO methods are compared for one- and two-fluid Stokes problems. In the simplest setting, we prove that the HHO and HDG methods can differ only in the choice of the approximation spaces and of the stabilization operator.