Une approche unifiée pour les méthodes de sous-espace de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires

A unified approach to Krylov subspace methods for solving linear systems

• Auteur / Autrice : Fatima Bouyghf
• Direction : Hassane Sadok, Abderrahim Messaoudi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/07/2023
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Centre d'études doctorales en sciences et technologies (Rabat)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Jury : Président / Présidente : Khalid Jbilou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hassane Sadok, Abderrahim Messaoudi, Jilali Abouir, Mohamed EL GUIDE, Ahmed Ratnani, Mustapha Esghir
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jilali Abouir, Mohamed EL GUIDE, Ahmed Ratnani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Systèmes linéaires

Gradient conjugué, Méthode du

Équations, Systèmes d'

Méthodes de sous-espaces de Krylov

Mots clés libres

Sous-Espace de Krylov

Inverse à gauche

Projecteurs orthogonaux

Amélioration de la convergence

Méthodes itératives

Méthodes de projection

Krylov sub-Space

Linear system

Left inverse

Orthogonal projectors

Convergence improvement

Iterative methods

Résumé

Pour résoudre un système linéaire de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives et des méthodes de projection. Parmi ces méthodes, on trouve les méthodes de sous-espace de Krylov. Le principe de ces méthodes repose sur la condition de Petrov- Galerkin. En effet, les méthodes de Krylov consistent à calculer une approximation de la solution d’un système linéaire dans le sous-espace de Krylov, à condition que le résidu soit orthogonal à un autre sous-espace, appelé sous-espace à gauche. Le choix du sous-espace à gauche donne différentes variantes des méthodes de Krylov, qui diffèrent les unes des autres en termes de temps d’exécution, de stockage en mémoire et de précision de calcul. Notre axe de recherche porte donc sur l’amélioration de la convergence de ce type de méthodes. Nous avons contribué en proposant une approche unifiée et un cadre général pour simplifier l’étude de ces méthodes en utilisant les inverses à gauche. Cette approche repose sur le fait que toutes les méthodes de Krylov calculent les coefficients du polynôme minimal de la matrice du système pour un résidu initial. En utilisant des outils mathématiques et des propriétés des projecteurs orthogonaux, nous avons pu améliorer la précision de calcul de la plupart de ces méthodes tout en conservant le même stockage et le même temps d’exécution. Grâce à notre approche, nous avons également proposé de nouvelles implémentations qui offrent des performances de calcul intéressantes pour certaines méthodes. Le cas par bloc de ces méthodes a également été étudié. On a étudié aussi la méthode IDR(s) en développement la version global de cette méthode et en proposant une amélioration de convergence. On a donné la différence entre notre approche et l’approche d’IDR L’efficacité et la précision de tous les algorithmes proposés sont illustrées par quelques exemples numériques.

To solve large linear systems, iterative methods and projection methods are commonly employed. Among these methods, the Krylov subspace methods are widely utilized. The primary principle of these methods is based on the Petrov-Galerkin condition.Krylov methods involve computing an approximation of the solution to a linear system within the Krylov subspace, with the requirement that the residual is orthogonal to another subspace known as the left subspace. The choice of the left subspace leads to different variants of Krylov methods, which vary in terms of execution time, memory usage, and computational accuracy. Therefore, our research focuses on analyzing the convergence of these methods. We have contributed to this field by proposing a unified approach and a general framework to simplify the study of these methods using left inverses of the Krylov matrix. This approach is based on the fact that all Krylov methods compute the coefficients of the minimal polynomial of the system matrix for an initial residual. By leveraging mathematical tools and the properties of orthogonal projectors, we have enhanced the computational accuracy of most of these methods while preserving the same storage and execution time. Furthermore, our approach has facilitated the development of new implementations that exhibit interesting computationalperformance for selected methods. We have also investigated the block case of these methods in our studies. The effectiveness and the accuracy of all proposed algorithms are illustrated by some numerical experiments.