Deux études catégoriques : algèbre homologique relative pour R-modules, théorème du point fixe pour Q-categories

Two categorical studies : relative homological algebra of R-modules, fixpoint theorems for Q-categories

• Auteur / Autrice : Arij Benkhadra
• Direction : Isar Stubbe, Driss Bennis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/02/2023
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Mohammed V (Rabat). Faculté des sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Partenaire(s) de recherche : ED : Centre d'études doctorales en sciences et technologies (Rabat)
• Jury : Président / Présidente : Anatole Khélif
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Isar Stubbe, Driss Bennis, Ulrich Höhle, Hakima Mouanis, Abdelali Zine El Abidine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ulrich Höhle, Hakima Mouanis

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anneaux (algèbre)

Modules (algèbre)

Anneaux de Gorenstein

Mots clés libres

Algèbre Homologique

Cohérence

Theorèmes du point fixe

Complétude de cauchy

Catégories enrichies

Quantales

Homology

Coherence

Fixed point theorem

Cauchy completeness

Enriched categories

Modules

Rings

Résumé

Cette thèse de doctorat est composée de trois articles de recherche : les deux premiers portent sur la théorie des modules sur un anneau R, le troisième porte sur les catégories enrichies dans un quantale Q. Le premier article (travail conjoint avec M. Amini, D. Bennis et M. El Hajoui) est une continuation du travail par Bennis [4], unifiant plusieurs notions d’anneaux cohérents. Nous introduisons les modules de type cohérent unifiant les concepts de cohérence relative existants. Dans le deuxième article (travail conjoint avec M. Amini et D. Bennis), nous généralisons le travail d’Enochs et Jenda [17] sur les R-modules injectifs et plats de Gorenstein. En considérant une classe X de R-modules et un entier n ≥1, nous introduisons, via des modules spéciaux finiment présentés, les concepts de module injectif et plat de n-X-Gorenstein, et nous obtenons quelques propriétés équivalentes de ces modules sur des anneaux n-X-cohérents. Nous étudions ensuite les relations entre les modules n-X-injectives de Gorenstein et les modules n-X-plats de Gorenstein sur les X-FC-anneaux (c’est-à-dire les anneaux auto-n-X-injectifs et n-X-cohérents). Plusieurs résultats connus sont généralisés à ce nouveau contexte. Le troisième article (en collaboration avec I. Stubbe) fournit une analyse logique de certains théorèmes de points fixes, en les replaçant dans le contexte des catégories Q-enrichies (largement étudiées par Stubbe [36]). Plus précisément, nous démontrons un théorème du point fixe pour des contractions sur des Q-catégories Cauchy complètes, qui est valable pour tout quantale Q dont le treillis sous-jacent est continu, et qui s’applique à une notion spécifique de contraction. Des conditions suffisantes pour l’unicité du point fixe sont établies. Tout au long de l’étude, nous soulignons l’importance de la continuité du quantale sous-jacent. Les exemples comprennent des théorèmes de points fixes connus et nouveaux pour les espaces métriques, les espaces métriques flous et les espaces métriques probabilistes.

This doctoral dissertation is composed of three research articles: the first two are on R-module theory (for R a ring), the third is on Q-enriched categories (for Q a quantale). The first article (joint work with M. Amini, D. Bennis and M. El Hajoui) continuesthe work done by Bennis [4], who unified several coherent-like rings. We introduce coherent-like modules which also emphasizes our point of view by unifying the existed relative coherent concepts. Several classical results are generalizedand some new results are given. In the second article (joint work with M. Amini and D. Bennis), we generalize the work of Enochs and Jenda [17] on Gorenstein injective and Gorenstein flat R-modules. Letting X be a class of R-modules and n ≥ 1 an integer, we introduce, via special finitely presented modules, the concepts of Gorenstein n-X-injective and n-X-flat modules, and we obtain some equivalent properties of these modules on n-X-coherent rings. We then investigate the relations among Gorenstein n-X-injective, n-X-flat, injective and flat modules on X-FC-rings (i.e., self n-X-injective and n-X-coherent rings). Several known results are generalized to this new context. The third article (joint work with I. Stubbe) provides a logical analysis of some fixed point theorems, by putting these in the context of Q-enriched categories (extensively studied by Stubbe [36]). More precisely, we prove a fixpoint theorem for contractions on Cauchy-complete Q-enriched categories that holds for any quantale Q whose underlying lattice is continuous, and applies to a specific notion of contraction. Sufficient conditions for the uniqueness of the fixpoint are established. Throughout, we stress the importance of the continuity of the underlying quantale. Examples include known and new fixpoint theorems for metric spaces, fuzzy metric spaces, and probabilistic metric spaces.