Renormalisation des cocycles symplectiques quasi-périodiques

Renormalization of quasi-periodic symplectic cocycles

• Auteur / Autrice : Yi Pan
• Direction : Raphaël Krikorian, Artur Avila
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques - EM2PSI
• Date : Soutenance le 04/10/2023
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Analyse, géométrie et modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 1993-....) - Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Hakan L. Eliasson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Krikorian, Artur Avila, Kristian Bjerklöv, Qi-Lin Zhou, Julie Déserti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Kristian Bjerklöv, Qi-Lin Zhou

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Cocycles quasi-Périodiques

Operateurs de Schrödinger quasi-Périodiques

Renormalisation

Hyperbolicité

Dynamical systems

Quasi-Periodic cocycles

Quasi-Periodic Schrödinger operators

Renormalization

Hyperbolicity

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier la dynamique des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes symplectiques et de généraliser à ce cadre les travaux d'Avila et Krikorian sur les cocycles quasi-périodiques à valeurs dans «SL(2,R)». Plus précisément, nous voulons prouver, pour une famille de cocycles symplectiques quasi-périodiques à un paramètre, que pour presque toutes les valeurs du paramètre, le cocycle a soit un exposant de Lyapunov positif, soit est conjugué à un modèle simple. D'après la théorie de Kotani (généralisée au cas symplectique par D. Xu), ce type de résultat est équivalent au problème de rigidité suivant : un cocycle L^2-rotation réductible est-il conjugué à un modèle simple? Comme premier pas dans cette direction, nous développons une théorie de renormalisation pour les cocycles qui sont réductibles et prouvons que cette renormalisation converge vers une classe de modèles simples. Ensuite, pour prouver les résultats de réductibilité nous sommes amenés à étudier les propriétés d'hyperbolicité de l'opérateur de renormalisation correspondant. Comme conséquence, nous établissons que les cocycles {it réguliers} L^2-rotation réductibles sont conjugués à des modèles simples.

The purpose of this thesis is to study the dynamics of quasi-periodic cocycles with values in symplectic groups and to generalize to this setting the work of Avila and Krikorian on quasi-periodic cocycles with values in SL(2,R). More precisely we want to prove, for some one parameter family of symplectic quasi-periodic cocycles, that for almost all value of the parameter, the cocycle has either positive Lyapunov exponent or is conjugated to some simple model. By Kotani theory (generalized to the symplectic case by D. Xu) this kind of result is equivalent to the following rigidity problem: is a L^2-rotation reducible cocycle conjugated to some simple model? As a first step in this direction, we develop a renormalization theory for cocycles which are L^2-rotation reducible and prove that this renormalization converges to some class of simple models. Next, to prove reducibility results we are led to study the hyberbolicity properties of the corresponding renormalization operator. As a consequence, we establish that {it regular} L^2-rotation reducible cocycles are conjugated to simple models..