Dessins de graphes sur surfaces de genre nul et supérieur

Drawing graphs on surfaces of null and higher genus

• Auteur / Autrice : François Doré
• Direction : Enrico Formenti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 11/12/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Giroire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Enrico Formenti, Frédéric Giroire, Ioan Todinca, Nicolas Bonichon, Daniel Gonçalves, Gwenaël Joret, Kévin Perrot, Francis Lazarus
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ioan Todinca, Nicolas Bonichon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algorithmique

Théorie des graphes

Mots clés libres

Dessins de graphes

Topologie des graphes

Géométrie algorithmique

Graph drawing

Graph topology

Computational geometry

Résumé

Les graphes constituent des structures de données éminemment utilisés, tant d'un point de vue théorique que pratique. De par leur importance, il est nécessaire de trouver des outils permettant de les représenter au mieux afin de faire émerger, à partir des données abstraites, les informations latentes qui s'y dissimulent. Le dessin de graphes est l'un de ces outils et il constitue un domaine de recherche vivace où existent de très nombreux algorithmes, s'intéressant chacun à des propriétés précises du graphe ou de sa représentation. On peut citer, entre autres, l'angle minimal que forment deux arêtes adjacentes, l'homogénéité de la longueur des arêtes, le nombre de brisures des arêtes ou encore leur nombre de croisements. Pour certains de ces paramètres, le fait de les minimiser est une tâche ardue. C'est le cas tout particulièrement du problème de minimisation du nombre de croisements d'arêtes, qui s'avère être, en général, au moins NP-Complet. Plusieurs approches peuvent être explorées pour s'attaquer à ce problème, soit par le biais d'algorithmes généralistes, soit par le biais d'heuristiques plus spécialisées, chacun offrant un équilibre différent entre résultat et performances. Dans cette thèse, nous définissons une nouvelle heuristique, basée sur le repositionnement itératif de sommets, et offrant une paramétrisation visant à régler de manière fine cet équilibre entre croisements et temps d'exécution.Pour aller encore plus loin, une question légitime est de se demander ce que donneraient ces algorithmes s'ils étaient appliqués dans des contextes différents, notamment lorsque l'on s'essaye à représenter des graphes sur d'autres surfaces que le plan Euclidien. Ce changement de paradigme apporte de nouveaux degrés de liberté pour la visualisation de graphes, notamment dans la minimisation du nombre de croisements, tout en posant de nouveaux défis dans la façon d'adapter les mécanismes à l'œuvre dans un nouveau modèle de représentation. Nous introduisons deux algorithmes, l'un optant pour une approche dynamique du dessin de graphes sur le tore par simulation de forces, le second faisant le lien entre les représentations combinatoires et géométriques de graphes sur la bouteille de Klein.

Graphs are widely used data structures, both from a theoretical and practical point of view. Because of their importance, it is necessary to find the best tools for representing them in order to extract the latent information that lies behind the data. Graph drawing is a lively research area in which a large number of algorithms exist, each focusing on specific properties of the graph or its representation. These include, among others, the minimum angle formed by two edges with a common vertex, the homogeneity of edges length, the number of edge breaks or the number of edge crossings. For some of these parameters, minimizing them is a difficult task. This is particularly true for the crossing minimization problem, which generally turns out to be at least NP-complete. Several approaches can be explored to tackle this problem, either through generalist algorithms or through more specialised heuristics, each offering a different balance between results and performance. In this thesis, we define a new heuristic, based on the iterative repositioning of vertices, and offering a parameterisation aimed at fine-tuning this balance between crossings and execution time.To go even further, a legitimate question is to ask what these algorithms would give when applied to different contexts, in particular when trying to represent graphs on surfaces other than the Euclidean plane. This paradigm shift brings new degrees of freedom for graph visualisation, especially in terms of crossing minimization, while at the same time raising new questions about how to adapt the mechanisms at work in a new representation model. We introduce two algorithms, one opting for a dynamic approach to graph drawing on the torus using force simulation, and another linking combinatorial and geometric representations of graphs on the Klein bottle.