Diffusion fractionnaire pour des équations cinétiques

Fractional diffusion for kinetic equations

• Auteur / Autrice : Dahmane Dechicha
• Direction : Marjolaine Puel, Iván Moyano Garcia
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/10/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Herbert Koch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marjolaine Puel, Iván Moyano Garcia, Herbert Koch, Stéphane Mischler, Danela Oana Ivanovici, Maxime Ingremeau, Isabelle Tristani, Camille Tardif
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Herbert Koch, Stéphane Mischler

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Fokker-Planck, Équation de

Équations cinétiques

Diffusion (physique)

Mots clés libres

Diffusion fractionnaire

Équations cinétiques

Équation de Fokker-Planck

Equilibre à queue lourde

Système de Vlasov-Navier-Stokes

Régularité Gevrey

Limite de diffusion

Équation de Boltzmann linéaire

Problème spectral

Solution-propre

Méthode spectrale

Propagation de régularité

Fractional diffusion

Kinetic equations

Fokker-Planck equation

Heavy-tail equilibrium

Vlasov-Navier-Stokes system

Gevrey regularity

Diffusion limit

Linear Boltzmann equation

Spectral problem

Eigen-solution

Spectral method

Propagation of regularity

Résumé

Cette thèse porte principalement sur les limites de diffusion fractionnaire pour des équations cinétiques avec équilibre à queue lourde. L'objectif est d'améliorer et de généraliser la méthode spectrale développée par Gilles Lebeau et Marjolaine Puel pour l'équation de Fokker-Planck en dimension 1 en toute dimension. Dans un travail en collaboration avec Marjolaine Puel et inspiré des travaux de Herbert Koch pour l'équation de KdV non linéaire, nous avons construit un couple-propre, solution du problème spectral associé à l'opérateur de Fokker-Planck. Ce résultat, établi d'abord en dimension 1 puis généralisé en dimension supérieure, a pour comme conséquence directe la limite de diffusion pour l'équation de Fokker-Planck. La valeur propre donne la bonne échelle en temps ainsi que le coefficient de diffusion, tandis que la fonction propre est utilisée comme fonction test dans la méthode des moments. Ces résultats ont été obtenus de manière indépendante aux travaux récents d'Emeric Bouin et Clément Mouhot (2022), qui ont été réalisés un problème spectral et des techniques différents.La deuxième partie de cette thèse porte sur l'étude de propagation de régularité Gevrey pour les solutions du système de Vlasov-Navier-Stokes. Dans ce système couplé de l'équation cinétique de Vlasov et des équations macroscopiques de Navier-Stokes, nous montrons que pour une donnée initiale dans la classe de fonctions Gevrey, la solution du système va rester dans la classe Gevrey tant qu'il existe des solutions Sobolev. On utilise une méthode basée sur des estimations d'énergie et la caractérisation de la classe Gevrey par Fourier et les espaces de Sobolev. Cette méthode est inspirée des travaux de Levermore et Oliver, Kukavica et Vicol pour Euler et Velozo Ruiz pour Vlasov-Poisson.Mots clés : limite de diffusion, diffusion fractionnaire, équations cinétiques, équation de Fokker-Planck, équation de Boltzmann linéaire, équilibre à queue lourde, problème spectral, solution-propre, méthode spectrale, régularité Gevrey, propagation de régularité, système de Vlasov-Navier-Stokes.

This thesis mainly deals with fractional diffusion limits for kinetic equations with heavy- tail equilibrium. The objective is to improve and generalize the spectral method developed by Gilles Lebeau and Marjolaine Puel for the Fokker-Planck equation in dimension 1 to any dimension. In a work in collaboration with Marjolaine Puel and inspired by the work of Herbert Koch for the nonlinear KdV equation, we have constructed an eigenpair, solution to the spectral problem associated with the Fokker-Planck operator. This result, first established in dimension 1 then generalized in higher dimension, gave as a direct consequence the diffusion limit for the Fokker-Planck equation. The eigenvalue gives the correct scale in time as well as the diffusion coefficient, while the eigenfunction is used as a test function in the moments method. These results were obtained independently of recent work by Emeric Bouin and Clément Mouhot (2022), which used a different spectral problem and different techniques.The second part of this thesis deals with the study of propagation of Gevrey regularity for the solutions of the Vlasov-Navier-Stokes system. In this coupled system of the kinetic equation of Vlasov and the macroscopic equations of Navier-Stokes, we show that for an initial datum in the class of Gevrey functions, the solution of the system will remain in the Gevrey class as long as Sobolev solutions exist. We use a method based on energy estimates and characterization of the Gevrey class by Fourier and Sobolev spaces. This method is inspired by the work of Levermore and Oliver, Kukavica and Vicol for Euler and Velozo Ruiz for Vlasov-Poisson.Keywords: diffusion limit, fractional diffusion, kinetic equations, Fokker-Planck equation, linear Boltzmann equation, heavy-tail equilibrium, spectral problem, eigen-solution, spectral method, Gevrey regularity, propagation of regularity, Vlasov-Navier-Stokes system.