Théorie et modèles des (∞, ω)-catégories

Theory and models of (∞, ω)-categories

• Auteur / Autrice : Félix Loubaton
• Direction : Carlos Simpson, Denis-Charles Cisinski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/10/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Clemens Berger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carlos Simpson, Denis-Charles Cisinski, Clemens Berger, Dominic Verity, Yonatan Harpaz, Dimitri Ara, Georges Maltsiniotis, Emily Riehl
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominic Verity, Yonatan Harpaz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Grothendieck, Catégories de

Fibrations (mathématiques)

Catégories (mathématiques)

Théorie des ensembles

Mots clés libres

(∞. ω)-catégories

(∞. n)-catégories

Construction de Grothendieck

Lemme de Yoneda

Ensembles compliciaux

Fibrations cartésiennes

Univalence

(co)limites lax

(∞. ω)-categories

(∞. n)-categories

Grothendieck construction

Yoneda's lemma

Complicial sets

Cartesian fibrations

Univalence

Lax (co)limits

Résumé

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous étudions les modèles des (∞, ω)-catégories. Le résultat principal consiste à établir une équivalence de Quillen entre les Θ-espaces complets de Segal et les ensembles compliciaux de Verity. Dans la deuxième partie, nous étudions la (∞, 1)-catégorie correspondant à ces deux structures de modèles, dénotée (∞, ω)-cat. Son lien avec les Θ-espaces complets de Segal nous permet d'utiliser le langage globulaire, tandis que sa connexion avec les ensembles compliciaux nous donne accès à une opération fondamentale, le produit tensoriel de Gray. L'objectif sera alors d'implémenter les constructions catégoriques standards dans le contexte des (∞, ω)-catégories. Un accent particulier sera mis sur la construction de Grothendieck.

This thesis is divided into two parts. In the first part, we study models of (∞, ω)categories. The main result is to establish a Quillen equivalence between Rezk's complete Segal Θ-spaces and Verity's complicial sets. In the second part, we study the (∞, 1)-category corresponding to these two model structures, denoted by (∞, ω)-cat. Its connection with Rezk's complete Segal Θ-spaces allows us to use the globular language, while its connection with complicial sets gives us access to a fundamental operation, the Gray tensor product. The objective will be to implement standard categorical constructions in the context of (∞, ω)-categories. A special emphasis will be placed on the Grothendieck construction.