Logique catégorique du point de vue de la dualité et des espaces compacts ordonnés

Categorical logic from the perspective of duality and compact ordered spaces

• Auteur / Autrice : Jérémie Marquès
• Direction : Mai Gehrke
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/09/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Paul-André Melliès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mai Gehrke, Paul-André Melliès, André Joyal, Luca Reggio, Ganna Kudryavtseva, Carlos Simpson, Clemens Berger
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Paul-André Melliès, André Joyal

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monoïdes

Théorie des modèles

Espaces compacts

Logique mathématique

Mots clés libres

Logique catégorique

Dualité de Stone

Espaces compacts ordonnés

Théorie des modèles

Monoïdes profinis

Categorical logic

Stone duality

Compact ordered spaces

Model theorie

Profinite monoids

Résumé

Le sujet d'étude principal de cette thèse est une généralisation de la logique cohérente, Booléenne et intuitionniste qui sera introduite et développée d'un point de vue purement topologique. Le cheminement de cette généralisation est le suivant. On commence avec la notion d'hyperdoctrine à valeurs dans les treillis distributifs, algébrisant la logique cohérente du premier ordre. En appliquant la dualité de Priestley, on obtient les espaces polyadiques à valeurs dans les espaces de Priestley. On remplace alors les espaces de Priestley par des espaces compacts ordonnés. On présentera plusieurs duaux algébriques de cette généralisation. On obtient par exemple une logique géométrique basée sur les trames stablement continues, ou bien une logique floue dont les énoncés ont une valeur de vérité dans l'intervalle [0, 1]. Plusieurs résultats sont généralisés à ce cadre : l'interpolation uniforme de Pitts (pour le cas propositionnel), divers résultats de complétude, la définissabilité de Beth, la complétude conceptuelle et un théorème d'omission des types. Par la suite, on expliquera l'application des espaces polyadiques qui est à l'origine de l'intérêt de l'auteur. Il s'agit d'une dualité entre certains monoïdes topologiques (équidivisibles, plus précisément) et certaines théories étendant la théorie des ordres linéaires bornés. Afin d'expliquer des exemples de cette dualité provenant de la théorie des monoïdes finis, un dernier chapitre explorera la complétion de Freyd-Schützenberger d'une petite catégorie. Cette complétion est analogue à l'espace affine sous-jacent un espace vectoriel. On l'utilisera pour donner une preuve non inductive du théorème de Krohn-Rhodes fonctionnant pour tout monoïde stable.

The subject of this thesis is a generalization of coherent, Boolean and intuitionistic logic which will developed from a topological point of view. We start with hyperdoctrines valued in distributive lattices, an algebraization of coherent first order logic. Applying Priestley duality, we get polyadic spaces valued in Priestley spaces. We can then replace the Priestley spaces by compact ordered spaces. We will present several algebraic duals of this generalization. For instance, we obtain a geometric logic based on stably continuous frames, or a fuzzy logic whose statements have truth values in [0, 1]. Several results are generalized: Pitt's uniform interpolation (for the propositional fragment), several completeness results, Beth's definability, conceptual completeness and an omitting types theorem. We will also explain the application that is the source of the author's interest: a duality between some topological monoids (equidivisible, more precisely) and some first order theories extending the theory of bounded linear orders. In order to explain some examples of this duality, a last chapter will explore the Freyd- Schützenberger completion of a small category. This completion is analoguous to the affine space underlying a vector space. We will use it to give a non-inductive proof of the Krohn-Rhodes theorem for all stable monoids.