La propriété de décroissance rapide hybride pour les groupes discrets

The hybrid rapid decay property for discrete groups

• Auteur / Autrice : Benjamin Zarka
• Direction : Indira Lara Chatterji
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/09/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : François Gautero
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Indira Lara Chatterji, François Gautero, Hervé Oyono-Oyono, Christophe Pittet, Adrien Boyer, Maria Paula Gómez Aparicio
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hervé Oyono-Oyono, Christophe Pittet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Marches aléatoires (mathématiques)

Groupes hyperboliques

Algèbres de Banach

K-théorie

Algèbres de groupes

Mots clés libres

Algèbre de groupe

Propriété RD

K-théorie des algèbres de Banach

Action moyennable

Groupe relativement hyperbolique

Marche aléatoire symétrique

Group algebra

Property RD

K-theory of banach algebra

Amenable action

Relatively hyperbolic group

Symmetric random walk

Résumé

Un groupe finiment engendré G a la propriété RD lorsque l'algèbre de Sobolev du groupe H^s(G) s'injecte dans la C^*-algèbre réduite C^*_r(G). Cette inclusion permet de contrôler la norme de l'opérateur de convolution sur l^2(G) par des normes l^2 pondérées, et induit des isomorphismes en K-théorie. Il est connu que la présence de sous-groupes moyennables à croissance sur-polynomiale est une obstruction à cette propriété. Parallèlement à cela, on dispose toujours d'une inclusion canonique de l^1(G) dans C^*_r(G), mais cette estimation est en général moins fine que celle donnée par RD, et l'existence d'isomorphismes de K-théorie découlant de cette inclusion est un problème généralement ouvert qui est souvent issu de la combinaison des conjectures de Bost et Baum-Connes. C'est pourquoi, dans cette thèse, nous présenterons une version relative de la propriété RD appelée propriété RD_H basée sur une interpolation entre les normes l^1 et l^2 paramétrée par un sous-groupe H de G. Nous verrons que cette propriété peut être vue comme une généralisation aux cas des sous-groupes non distingués du fait que le quotient G/H ait la propriété RD. Nous étudierons certaines propriétés géométriques liées à l'espace G/H permettant de déduire ou d'infirmer la propriété RD_H. En particulier, nous nous pencherons sur le cas où H est un sous-groupe co-moyennable de G et le cas où G est un groupe relativement hyperbolique par rapport au sous-groupe H. Nous montrerons que la propriété RD_H nous permet d'obtenir une famille d'isomorphismes en K-théorie paramétrée par le choix du sous-groupe H, et d'obtenir une borne inférieure concernant la probabilité de retour dans le sous-groupe H d'une marche aléatoire symétrique. Une autre partie de la thèse est consacrée à l'existence d'un isomorphisme entre les groupes de K-théorie des algèbres l^1(G) et C^*_r(G) où l'on prouve la véracité de ce résultat pour certains produits semi-directs en combinant deux types de suites exactes sans faire intervenir les conjectures de Bost et Baum-Connes.

A finitely generated group G has the property RD when the Sobolev space H^s(G) embeds in the group reduced C^*-algebra C^*_r(G). This embedding induces isomorphisms in K-theory, and allows to upper-bound the operator norm of the convolution on l^2(G) by weighted l^2 norms. It is known that if G contains an amenable subgroup with superpolynomial growth, then G cannot have property RD. In another hand, we always have the canonical inclusion of l^1(G) in C^*_r(G), but this estimation is generally less optimal than the estimation given by the property RD, and in most of cases, it needs to combine Bost and Baum-Connes conjectures to know if that inclusion induces K-theory isomorphisms. That's the reason why, in this thesis, we define a relative version of property RD by using an interpolation norm between l^1 and l^2 which depends on a subgroup H of G, and we call that property: property RD_H. We will see that property RD_H can be seen as an analogue for non-normal subgroups to the fact that G/H has property RD, and we will study what kind of geometric properties on G/H can imply or deny the property RD_H. In particular, we care about the case where H is a co-amenable subgroup of G, and the case where G is relatively hyperbolic with respect to H. We will show that property RD_H induces isomorphisms in K-theory, and gives us a lower bound concerning the return probability in the subgroup H for a symmetric random walk. Another part of the thesis is devoted to show that if G is a certain kind of semi-direct product, the inclusion l^1(G)subset C^*_r(G) induces isomorphisms in K-theory, we prove this statement by using two types of exact sequences without using Bost and Baum-Connes conjectures.