Problèmes inverses d'estimation de sources, applications à l'EEG et à la MEG

Inverse problems of source localization with applications to EEG and MEG

• Auteur / Autrice : Paul Asensio
• Direction : Juliette Leblond, Laurent Baratchart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique traitement du signal et des images
• Date : Soutenance le 21/09/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Yves Dauvignac
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Juliette Leblond, Laurent Baratchart, Jean-Yves Dauvignac, Yannick Privat, Bernhard Beckermann, Stanislav Kupin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yannick Privat, Bernhard Beckermann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Magnétoencéphalographie

Électroencéphalographie

Problèmes inverses

Mots clés libres

Problème inverse

Électroencéphalographie

Magnétoencéphalographie

Inverse problem

Electroencephalography

Magnetoencephalography

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les problèmes d'approximation au sens des moindres carrés liés à des équations aux dérivées partielles elliptiques. Les problèmes inverses étudiés sont liés aux solutions des équations de Maxwell, soit sous l'approximation quasi-statique conduisant à une équation de Poisson, soit sous l'approximation harmonique en temps induisant une équation de Helmholtz. Ces problèmes concernent la localisation de sources en imagerie cérébrale, la localisation de charges à partir de mesures continues du champ électromagnétique qu'elles génèrent et la reconnaissance de formes à partir de mesures discrètes d'ondes électromagnétiques réfléchies.Dans un premier chapitre, ces problèmes au sens des moindres carrés sont liés aux solutions des équations de Poisson issues des équations de Maxwell sous l'approximation quasi-statique. Nous étudions dans ce cas les problèmes inverses de localisation de sources en imagerie cérébrale ou de localisation de charges à partir de mesures continues du champ électromagnétique qu'elles induisent. Pour ces problèmes, nous étudions principalement les fonctions ''objectif'' associées et leur solvabilité numérique. En effet, ces fonctions n'étant pas convexes, nous étudions l'unicité des leurs points critiques et donc de leurs minima locaux afin d'assurer la convergence des méthodes de descente vers la solution désirée. Nous étudions différents problèmes : l'estimation du courant à partir de mesures du potentiel électrique ou de l'induction magnétique et l'estimation de charge électrique à partir de mesures du champ électrique ; l'étude est faite pour deux ensembles de mesures différents : une sphère et un plan infini. Des illustrations numériques sont fournies pour tous ces problèmes.Dans un deuxième chapitre, nous étudions un problème de reconstruction de forme et d'estimation de propriétés électriques à partir de mesures discrètes d'ondes électromagnétiques réfléchies sur un objet. Pour ce problème, les champs sont des solutions de l'équation d'Helmholtz provenant des équations de Maxwell dans l'approximation harmonique en temps. La question de la reconstruction en elle-même peut être traitée par des techniques d'apprentissage automatique. Les paramètres choisis sont les pôles de la fonction qui exprime le champ électrique en fonction de la fréquence. Dans cette thèse, nous étudions des méthodes d'approximation rationnelle du champ afin de décrire comment ces pôles peuvent être estimés. Nous introduisons et étudions deux généralisations de l'approximation de Padé au sens des moindres carrés : l'approximation de Padé au sens des moindres carrés en 0 et l'approximation de Padé multipoints au sens des moindres carrés. Pour la première approximation, nous généralisons le théorème de Nuttall-Pommerenke, tandis que nous montrons un résultat plus faible pour la seconde et discutons une conjecture plus forte.

In this thesis, we study least-squares approximation problems linked to elliptic partial differential equations. The studied inverse problems are linked to solutions of Maxwell equations under either the quasi-static approximation leading to a Poisson equation or under the time-harmonic approximation leading to a Helmholtz equation. These problems arise from source localization in brain imaging, charge localization from continuous measurements of the electromagnetic field they induce and shape recognition from discrete measurements of scattered electromagnetic wave.In a first chapter, these least-squares problems are linked to solutions of Poisson equations coming from Maxwell equations under the quasi-static approximation. We study in this case inverse problems of source localization in brain imaging or charge localization from continuous measurements of the electromagnetic field they induce. For these problems, we mainly study the associated least-squares criteria and their numerical solvability. Indeed, as the criteria are not convex, we study the uniqueness of critical points of the criteria hence of the local minima in order to ensure the convergence of descent methods to the desired solution. We study different problems: current recovery from measures of the electric potential or magnetic induction and charge recovery from measures of the electric field; the study is done for two different sets of measurements: a sphere and an infinite plane. Numerical illustrations are provided for all of these problems.In a second chapter, we study a problem of shape reconstruction and electric properties recovery from discrete measurements of scattered electromagnetic waves on an object. In this case, the fields are solution of Helmholtz equation coming from Maxwell equations under the time-harmonic approximation. The reconstruction issue by itself can be achieved based on machine learning techniques. The chosen parameters are the poles of the function which express the field with respect to the frequency. In this thesis we study rational approximation methods of the field in order to describe how these poles can be recovered. We introduce and study two least-squares generalizations of Padé approximation: the least-squares Padé approximation at 0 and the least-square multipoint Padé approximation. For the first approximation we generalize the Nuttall-Pommerenke theorem while we showed a weaker result for the second one and only discuss a stronger conjecture.