Espaces de modules de structures projectives branchées

Moduli spaces of branched projective structures

• Auteur / Autrice : Gustave Billon
• Direction : Sorin Dumitrescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Frank Loray
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sorin Dumitrescu, Frank Loray, Bertrand Deroin, Lucia Di Vizio, Carlo Gasbarri, François Labourie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frank Loray, Bertrand Deroin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fibrés des jets (mathématiques)

Teichmüller, Espaces de

Riemann, Surfaces de

Variétés complexes

Espaces de modules

Espaces projectifs

Mots clés libres

Structures projectives complexes

Espaces de modules

Géométrie complexe

(G, X)-structures

Familles de surfaces de Riemann

Fibrés de jets

Géométries de Cartan

Déformation des variétés complexes

Espaces de Teichmüller

Complex projective structures

Moduli spaces

Complex geometry

(G, X)-structures

Families of Riemann surfaces

Jet bundles

Cartan geometries

Deformation of complex manifolds

Teichmüller spaces

Résumé

Dans cette thèse nous étudions les structures projectives branchées, qui sont des surfaces compactes localement modelées sur la sphère de Riemann, avec des singularités coniques dont l'angle est un multiple de 2π. Plus précisément nous étudions les espaces de modules de telles structures, c'est-à-dire, pour chaque topologie de surface décrite par un genre g, et pour chaque degré de branchement n (le nombre de singularités comptées avec multiplicité), l'ensemble des structures projectives branchées de genre g et de degré n, à isomorphisme près.Les espaces de modules de structures projectives régulières (de degré de branchement nul) sont très bien connus. Ce sont des variétés différentielles complexes, chacune localement biholomorphe à la variété de caractères dans PGL(2, C) pour la topologie correspondante, via l'application d'holonomie. Chacun de ces espaces de modules est également un fibré affine au-dessus de l'espace de Teichmüller correspondant.Le principal résultat de cette thèse est que, comme dans le cas régulier, les espaces de modules des structures projectives branchées sont des espaces analytiques complexes. Ces variétés ne sont cependant pas localement biholomorphes aux variétés de caractères correspondantes, pour des raisons de dimension.Nous introduisons une notion de classe de branchement, qui peut être comprise comme une manière de décrire les structures projectives infinitésimalement aux points de branchement. En particulier, à chaque structure projective branchée est associée une classe de branchement. Nous montrons que l'espace des classes de branchement pour une topologie et un degré de branchement donnés est une variété différentielle complexe, dont la structure complexe provient de l'espace de Teichmüller associé. Pour chaque genre g > 1 et chaque degré de branchement n, l'espace des structures projectives branchées hérite de la structure complexe de l'espace des classes de branchement. Notamment, si le degré de branchement est petit par rapport au genre (n < 2g-2), l'espace des structures projectives branchées est un fibré affine au-dessus de l'espace des classes de branchement, tandis que si n est grand par rapport à g (n > 4g-4), l'espace des structures projectives branchées se plonge dans l'espace des classes de branchement.Nous étudions également le lien pour une structure projective branchée donnée entre la classe de branchement et le fibré projectif avec section associés. En particulier, nous montrons que ce dernier est déterminé par la classe de branchement. Cela généralise le résultat bien connu selon lequel, dans le cas régulier, le fibré projectif avec section est indépendant de la structure projective d'où il provient.

In this thesis we study branched projective structures, that are compact surfaces locally modeled on the Riemann sphere, with conical singularities whose angle is a multiple of 2π. More precisely, we study the moduli space of such structures, that is to say, for each surface topology described by a genus g, and for each branching degree n (the number of singularities counted with multiplicity), the set of branched projective structures of genus g and degree n, up to isomorphism.The moduli spaces of regular projective structures (with branching degree zero) are very well understood. These are complex manifolds, each locally biholomorphic to the PGL(2, C)-character variety for the corresponding topology, via the holonomy map. Each of these moduli spaces is also an affine bundle over the Teichmüller space for the corresponding topology.The main result of this thesis states that, as in the regular case, the moduli spaces of branched projective structures are complex analytic spaces. These manifolds are however not locally biholomorphic to the corresponding character varieties, for dimension reasons.We introduce a notion of branching class, that can be understood as a way to describe branched projective structures infinitesimally at the branching points. In particular, a branching class is attached to each branched projective structure. We show that the space of branching classes for a fixed topology and a fixed branching degree is a complex manifold whose complex structure comes from the corresponding Teichmüller space. For each genus g > 2 and each branching degree n, the space of branched projective structures inherits the complex structure of the space of branching classes. In particular, if the branching degree is small compared to the genus (n < 2g-2), the space of branched projective structures is an affine bundle over the space of branching classes, while if n is large compared to g (n > 4g-4), the space of branched projective structures embeds in the space of branching classes.We also study the relation for a fixed branched projective structure between the associated branching class and the associated projective bundle with section. In particular, we show that the latter is determined by the branching class. This generalizes the well-known result according to which, in the regular case, the projective bundle with section does not depend on the projective structure it comes from.