Analyse d'une méthode d'éléments finis multi-échelles appliquée à la conception de cellules photovoltaïques : une méthode hybride-mixte multi-échelle pour l’équation de Helmholtz avec des conditions aux limites quasi-périodiques

Analysis of a multiscale finite element method applied to the design of photovoltaic cells : a multiscale hybrid-mixed method for the Helmholtz equation with quasi-periodic boundary conditions

• Auteur / Autrice : Zakaria Kassali
• Direction : Stéphane Lanteri, Théophile Chaumont Frelet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/01/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Didier Auroux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Lanteri, Théophile Chaumont Frelet, Didier Auroux, Hélène Barucq, Serge Nicaise, Sonia Fliss, Frédéric Valentin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hélène Barucq, Serge Nicaise

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse multiéchelle

Éléments finis, Méthode des

Analyse numérique

Helmholtz, Équation d'

Ondes -- Propagation

Mots clés libres

Analyse numérique

Propagation des ondes

Équation de Helmholtz

Méthodes des éléments finis

Méthodes multi-échelles

Structure périodique

Condition aux limites quasi-périodique

Numerical analysis

Wave propagation

Helmholtz equation

Finite element methods

Multiscale methods

Periodic structure

Quasi-periodic boundary condition

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'étude mathématique et numérique de la propagation des ondes dans des milieux périodiques et hétérogènes modélisés par l'équation de Helmholtz avec des conditions aux limites quasi-périodiques. Dans le contexte actuel du changement climatique, les dispositifs solaires photovoltaïques apparaissent comme un outil efficace pour une transition énergétique propre. Ces circonstances encouragent considérablement la recherche scientifique sur le développement de ces dispositifs. À son tour, ce cadre motive l'étude de la propagation de la lumière dans ces cellules solaires, que l'équation de Helmholtz peut modéliser avec une condition limite quasi-périodique. Cette condition aux limites inhabituelle représente un cas particulier de géométries "captantes'' et donne lieu à l'apparition de certaines fréquences quasi-résonantes. Ce travail présente des résultats de stabilité explicites en fréquence dans le cas homogène révélant l'effet de ces fréquences quasi-résonantes sur l'utilisation de couches parfaitement adaptées (PML) et sur les discrétisations par éléments finis. L'expansion de Fourier disponible dans ce cas permet à notre étude de passer par l'analyse de quelques problèmes de Helmholtz unidimensionnels paramétrés satisfaits par les modes de Fourier. Nous fournissons également une analyse explicite en fréquence pour des coefficients physiques plus généraux pour lesquels l'expansion de Fourier ne fonctionne pas. Plus précisément, nous considérons des milieux multicouches, et notre étude utilise la technique du "multiplicateur de Morawetz'' pour obtenir des résultats explicites en fréquence, qui sont d'un intérêt particulier puisqu'ils interviennent dans l'analyse de stabilité et de convergence des discrétisations par éléments finis. La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'utilisation d'une méthode d'éléments finis à deux niveaux, appelée la méthode Multiéchelle Hybride-Mixte (MHM), pour résoudre notre problème modèle. Cette méthode est issue d'une procédure d'hybridation utilisant un maillage grossier, et ses fonctions de base multi-échelles sont calculées localement via des problèmes indépendants dans chaque cellule. Nous fournissons d'abord des estimations d'erreurs explicites en fréquence, montrant que la méthode MHM est plus précise et plus stable que la méthode des éléments finis standard en présence de fréquences quasi-résonantes. Ensuite, ayant à l'esprit la texturation à l'échelle nanométrique utilisée pour améliorer l'efficacité des cellules solaires, une analyse de convergence multi-échelle de la méthode MHM est présentée. Les estimations d'erreur obtenues sont uniformes lorsque la longueur caractéristique δ de la texturation tend vers zéro, ce qui signifie que la méthode MHM garde sa robustesse et capture les hétérogénéités à petite échelle en utilisant des mailles grossières.

The objective of this thesis is the mathematical and numerical study of wave propagation in periodic and heterogeneous media modeled by the Helmholtz equation with quasi-periodic boundary conditions. In the current context of climate change, photovoltaic solar devices are emerging as an effective tool for a clean energy transition. This circumstance significantly pushes scientific research on the development of these devices. In turn, this background motivates the study of light propagation in these solar cells, which the Helmholtz equation can model with a quasi-periodic boundary condition. This unusual boundary condition represents a particular case of trapping geometries and gives rise to the appearance of some quasi-resonant frequencies. This work presents frequency-explicit stability results in the homogeneous case revealing the effect of these quasi-resonant frequencies on the use of perfectly matched layers (PML) and finite element discretizations. The Fourier expansion available in this case allows our study to go through the analysis of some parameterized one-dimensional Helmholtz problems satisfied by the Fourier modes. We also provide a frequency-explicit analysis for more general physical coefficients where Fourier expansion does not work. Specifically, we consider multilayer media, and our study uses the alternative ``Morawetz multiplier'' technique to obtain frequency-explicit results, which are of particular interest since they enter into the stability and convergence analysis of finite element discretizations. The second part of this work is devoted to the use of a two-level finite element method named the multiscale hybrid-mixed (MHM) method to solve our model problem. This method arises from a hybridization procedure using coarse mesh, and its multiscale basis functions are locally computed via independent cell problems. We first provide frequency-explicit error estimates, showing that the MHM method is more accurate and stable than the standard finite element method in the presence of quasi-resonant frequencies. Then, having in mind the nanoscale texturation used to ameliorate solar cells efficiently, an MHM multiscale convergence analysis is presented. The obtained error estimates hold uniformly when the characteristic length δ of the texturation goes to zero, which signifies that the MHM method keeps its robustness and capture small-scale heterogeneities using coarse meshes.