Positivité du faisceau (co)tangent et des classes de Chern

Positivity of the (co)tangent sheaf and of Chern classes

• Auteur / Autrice : Cécile Gachet
• Direction : Andreas Höring
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/02/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Christoph Sorger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Andreas Höring, Christoph Sorger, Claire Voisin, Daniel Greb, Enrica Floris, Junyan Cao, Arnaud Beauville
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Claire Voisin, Daniel Greb

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chern, Classes de

Faisceaux, Théorie des

Variétés (mathématiques)

Mots clés libres

Variétés de Calabi-Yau

Variétés abéliennes

Positivité du faisceau (co)tangent

Classes de Chern

Résolution crépante

Conjecture du cône de Kawamata-Morrison

Variétés irréductibles holomorphes symplectiques

Correspondance de McKay

Cône nef

Variétés rationnellement connexes

Variétés de Fano

Calabi-Yau varieties

Abelian varieties

Positivity of the (co)tangent sheaf

Chern classes

Crepant resolution

Kawamata-Morrison cone conjecture

Hyperkähler varieties

McKay correspondence

Nef cone

Rationally connected varieties

Fano varieties

Résumé

Cette thèse participe à la description de certaines variétés complexes projectives à diviseur anticanonique numériquement effectif (nef). Dans la première partie, nous montrons que les faisceaux tangent et cotangent réflexivisé d'une variété normale projective de Calabi-Yau ou irréductible holomorphe symplectique à singularités canoniques ne sont pas pseudoeffectifs, ce qui généralise des résultats de Höring et Peternell en retranchant une hypothèse de lissité en codimension 2. La positivité de la seconde classe de Chern orbifold joue un rôle important dans la preuve, notamment dans un théorème technique faisant le lien entre la pseudoeffectivité d'un faisceau réflexif suffisamment stable de déterminant trivial et l'annulation de sa seconde classe de Chern orbifold. Nous présentons également des exemples de variétés de Calabi-Yau de petite dimension ayant des singularités en codimension 2. Dans la deuxième partie, nous exposons plusieurs résultats liés à la classification des quotients de variétés abéliennes par des groupes finis agissant librement en codimension 2 qui admettent une variété de Calabi-Yau comme résolution. Il est équivalent de classifier les variétés de Calabi-Yau admettant une annulation partielle de la seconde classe de Chern. Tandis qu'Oguiso construit deux exemples en dimension 3, nous prouvons qu'il n'y en a pas en dimension 4. Nous montrons également qu'à dimension fixée et à isogénie près, il y a seulement deux variétés abéliennes susceptibles d'admettre de tels quotients, à savoir left({E_{frac{-1+isqrt{3}}{2}}}ight)^n et left({E_{frac{-1+isqrt{7}}{2}}}ight)^n. Quant au groupe fini agissant, nous montrons qu'il est engendré par ses éléments admettant des points fixes, et nous classifions ses sous-groupes de la forme pstab(a), fixant un point commun a de la variété abélienne étudiée : ces sous-groupes sont des 3-groupes ou des 7-groupes abéliens élémentaires. Finalement, nos résultats impliquent qu'aucun quotient de variété abélienne par un groupe agissant librement en codimension 3 n'admet de résolution crépante simplement connexe. Le but de la troisième partie est d'établir la conjecture du cône pour les paires de Schoen (une terminologie que nous introduirons), généralisant l'article de Grassi et Morrison sur les variétés de Calabi-Yau de dimension 3 introduites par Schoen. Pour prouver cette conjecture dans ce cas particulier, nous décrivons complètement le cone nef des variétés de Schoen, en utilisant leur description en tant que produits fibrés au-dessus de P^1. Ce travail est une collaboration avec Hsueh-Yung Lin et Long Wang.Dans la quatrième partie, nous prouvons qu'une variété X projective lisse de dimension n dont la troisième ou quatrième puissance extérieure du fibré tangent est strictement nef est une variété de Fano. Nous classifions également une telle variété X sous l'hypothèse additionnelle ho(X)e 1. Enfin, nous prouvons que si la (n-1)-ième puissance extérieure du fibré tangent est nef et X est rationnellement connexe, alors X est une variété de Fano.

This thesis contributes to the description of some complex projective varieties with nef anticanonical divisor.In the first part, we prove that the tangent and the reflexivized cotangent sheaves of any normal projective Calabi-Yau or irreducible holomorphic symplectic variety with canonical singularities are not pseudoeffective, generalizing results of Höring and Peternell by removing a assumption of smoothness in codimension 2. Positivity of the second orbifold Chern class plays a key role in the proof, namely in a technical theorem relating pseudoeffectivity of a sufficiently stable reflexive sheaf with trivial determinant to the vanishing of its orbifold second Chern class. We also provide examples of Calabi--Yau varieties of small dimension with singularities in codimension 2.In the second part, we present many results toward a classification of those quotients of an abelian variety by a finite group acting freely in codimension 2 that admit a Calabi--Yau resolution. This is equivalent to classifying Calabi-Yau manifolds with a partial vanishing of the second Chern class. While Oguiso constructed two examples in dimension 3, we show that there are none in dimension 4. We also show that, up to isogeny, there are only two abelian varieties admitting such finite quotients in each dimension: left({E_{frac{-1+isqrt{3}}{2}}}ight)^n and left({E_{frac{- 1+isqrt{7}}{2}}}ight)^n. As for the finite group acting, we show that it is generated by its elements admitting fixed points, and classify its subgroups mathrm{Pstab}(a) that have a common fixed point a: they are elementary abelian 3-groups or 7-groups. Finally, our results imply that no quotient of an abelian variety by a finite group acting freely in codimension 3 admits a simply-connected crepant resolution.The goal of the third part is to establish the Cone Conjecture for so-called Schoen pairs, generalizing the work by Grassi and Morrison on the Calabi--Yau threefolds constructed by Schoen. In order to prove it, we completely describe the nef cone of Schoen varieties, using their description as fiber products over P^1. This is joint work with Hsueh-Yung Lin and Long Wang.In the fourth part, we prove that a smooth projective variety X of dimension n with strictly nef third or fourth exterior power of the tangent bundle is a Fano variety. We also classify X under the assumption that ho(X)e 1. Finally, we prove that if the (n-1)-th exterior power of the tangent bundle is nef and X is rationally connected, then X is a Fano variety.