Modélisation du problème de Stefan instationnaire par la méthode des frontières décalées : application au dégivrage

Modeling of the unsteady Stefan Problem using the Shifted Boundary Method : Application to de-icing systems

• Auteur / Autrice : Tiffanie Carlier
• Direction : Mathieu Colin, Héloïse Beaugendre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Clair Poignard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Héloïse Beaugendre, Lisl Weynans, Brian Helenbrook, Alireza Mazaheri
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Stéphane Clain, Alexei Lozinski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Éléments-frontières, Méthode des

Mots clés libres

Méthode des frontières décalées

Interface mobile

Problème de Stefan

Enrichissement de température

Analyse de stabilité

Méthode des éléments finis

Shifted boundary method

Moving interface

Stefan model

Temperature enrichment

Stability analysis

Finite element method

Résumé

Ce manuscrit présente une version enrichie de la méthode des frontières décalées (SBM) appliquée aux simulations par éléments finis sur des problèmes à frontières libres et mobiles. Le modèle étudié est le problème de Stefan, un modèle académique complexe pour la simulation de problèmes avec fronts de fusion. Plus précisément, le problème physique étudié dans ce manuscrit est le problème de fusion intervenant lors du dégivrage des avions. L’objectif est de développer des systèmes de dégivrage électrique plus efficaces, un défi majeur pour l’industrie aéronautique. Dans le cadre du développement de systèmes de dégivrage à résistance thermique, la modélisation par méthode à frontières immergées est une alternative qui apporte de nombreux avantages. Dans cette catégorie de méthodes, la méthode aux frontières décalées permet l’utilisation d’un seul maillage non conforme à la géomètrie où l’interface physique est remplacée par une interface numérique dont la définition dépend des éléments du maillage traversé par la véritable interface. La version d’ordre élevé proposée consiste à l’enrichissement de la formulation faible discrétisée du problème dans sa formulation mixte, permettant une précision d’ordre deux en espace sur la variable primale et son gradient, en temps et sur la position d’interface. Le lien entre les fonctions tests P1 et P2, ainsi que les développements de Taylor sur les conditions d’interface, du front physique à l’interface numérique, permettent d’obtenir une méthode précise sur un maillage non conforme. Sans précautions, l’utilisation de la méthode des frontières décalées avec fronts mobiles peut conduire à des instabilités qui peuvent se propager ou s’amplifier. Pour comprendre ces phénomènes, une étude de stabilité est effectuée sur une linéarisation du modèle autour d’un état stationnaire. Le modèle linéarisé est utilisé pour obtenir une relation de dispersion caractérisant les modes de dispersion du modèle en fonction du choix de conditions aux bords. Des tests numériques sont effectués pour démontrer la performance, la robustesse, la précision de la méthode ainsi que la stabilité du modèle par rapport aux perturbations de l’interface et sur le champ de température.

This manuscript introduces an expanded version of the Shifted Boundary Method (SBM) applied to a Finite Element Method designed to address problems with free and moving boundaries. The method is applied to the Stefan model, an academic challenge employed to simulate phase transitions. More precisely, the physical phenomena studied in this manuscript is the melting problem arising from the de-icing of aircraft. The objective is to get a better comprehension of these phenomena and to develop more efficient electric de-icing systems using thermal energy, a major challenge for the aeronautic industry. One of the main difficulties in the numerical simulation of the Stefan model is the treatment of the moving interface, the phase-change front between solid and liquid water. The moving boundary is defined using the Shifted Boundary Method (SBM), an embedded method that enables the use of non-body-fitted meshes, preventing the need for remeshing steps at each displacement of the interface and thus avoiding any problems that could arise from sharp geometries. The expanded method consists of improving the finite weak formulation to be at least second-order accurate by solving a mixed problem where both variables, the primal variable, and the flux, are solved. The link between the test functions P1 and P2 and the proper utilization of Taylor expansions allows us to achieve a fully second-order scheme in time, space, and for the interface position. Regarding the model study, the heat flux is responsible for moving the phase-change front, and the motion of the interface is derived from the Stefan condition. Since the interface is moving, some mesh nodes can switch from one part of the domain to another. The discontinuous aspect of the thermal flux at the interface makes the problem particularly delicate and can become a source of instabilities that can impact the solution on the entire domain. To understand this, a linear stability analysis of the numerical scheme and of the Stefan model is performed. The linear stability analysis provides an understanding of the behavior of the model depending on the choice made for its boundary conditions. The linearization is used to define a dispersion relation, which tells us about the stability or the dispersive nature of the wave components of the equations and characterizes the dynamics of spatially oscillating modes. Numerical tests are performed to demonstrate the performance, robustness, and accuracy of the method, as well as its stability regarding perturbations in both the primal variable and the interface location.