Étude Mathématique et Applications des Modèles de Collision Décrivant les Gaz Polyatomiques

Mathematical Study and Applications of Collisional Models Describing Polyatomic Gases

• Auteur / Autrice : Marwa Shahine
• Direction : Stephane Brull, Philippe Thieullen, Seok-Bae Yun
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 13/11/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Laurent Desvillettes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marzia Bisi, Stéphane Brull, Laurent Michel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François Golse, Irene Gamba

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du transport

Molécules polyatomiques

Gaz, Théorie cinétique des

Mots clés libres

Théorie cinétique

Gaz polyatomiques

Opérateur de Boltzmann linéarisé

Équation de Boltzmann stationnaire

Kinetic theory

Polyatomic gases

Linearized Boltzmann operator

Stationary Boltzmann equation

Résumé

L’équation de Boltzmann, introduite par Ludwig Boltzmann en 1872, est un outil fondamental pour étudier les propriétés des gaz dilués par une approche cinétique. Les modèles cinétiques constituent en effet un outil puissant pour décrire les systèmes hors équilibre et peuvent être considérés comme un pont entre les descriptions macroscopiques et microscopiques. Cette thèse présente une étude d’opérateurs collisionels des gaz polyatomiques du point de vue de la théorie cinétique. La théorie s’appuie sur la théorie cinétique des gaz monoatomiques, avec un niveau supplémentaire de complexité. Cette complexité est due aux modes d’énergie internes supplémentaires tels que l’énergie de rotation et de vibration, au-delà de la simple énergie cinétique de translation. Ces modes d’énergies internes sont supposés continus et représentés par un paramétre continu positif. Cette étude possède des applications importantes dans des domaines telles que la science de l’atmosphére, la combustion, et la science des matériaux. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier et de résoudre certains problèmes relatifs à l’équation de Boltzmann polyatomique. Dans le chapitre 2 nous présentons des résultats obtenus pour l’opérateur de Boltzmann linéarisé. En particulier, nous montrons avec un niveau de complexité croissant que l’opérateur de Boltzmann linéarisé est un opérateur de type Fredholm. Cet opérateur joue un rôle important pour dériver les limites hydrodynamiques de l’équation de Boltzmann. Nous présentons ensuite une dérivation des équations de Navier-Stokes incompressibles à partir de l’équation de Boltzmann pour les gaz polyatomiques au Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, nous prouvons l’existence et l’unicité des solutions de l’équation de Boltzmann stationnaire pour la géométrie du slab supposé suffisamment petit en utilisant des arguments de point fixe.

The Boltzmann equation introduced by Ludwig Boltzmann in 1872, is a practical tool for investigating the properties of dilute gases in the kinetic approach. Kinetic models present a powerful tool for describing systems out of equilibrium and can be viewed as a bridge between macroscopic and microscopic descriptions. This thesis presents a study of collisional operators of polyatomic gases from the kinetic theory viewpoint. The theory advances from the kinetic theory of monatomic gases, with an extra level of complexity. This complexity is due to the additional internal energy modes such as rotational and vibrational energy, beyond just translational kinetic energy. These internal energy modes are assumed to be continuous and presented by a positive continuous parameter. This study has significant applications in fields such as atmospheric science, combustion, and materials science. The main objective of this research is to investigate and solve some problems pertaining to the polyatomic Boltzmann equation. In Chapter 2, we present some results obtained for the linearized Boltzmann operator. In particular, we show in increasing level of complexity that the linearized Boltzmann operator is a Fredholm operator. This operator plays a significant role in deriving the hydrodynamic limits of the Boltzmann equation. We therefore present a derivation of the incompressible Navier-Stokes equations starting from the Boltzmann equation for polyatomic gases in Chapter 3. In Chapter 4, we prove the existence and uniqueness results of the stationary Boltzmann equation for a single polyatomic gas in a slab supposed to be sufficiently small, using fixed point arguments.