Décompositions combinatoires pour des familles de cartes déformées ou décorées

Combinatorial decomposition for decorated or deformed classes of maps

• Auteur / Autrice : Victor Nador
• Direction : Adrian Tanasa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 21/09/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Guillaume Chapuy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Valentin Bonzom, Marie Albenque, Gaëtan Borot, Thomas Krajewski, Wenjie Fang
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Guillaume Chapuy, Răzvan-Gheorghe Gurău

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie conforme des champs

Calcul tensoriel

Feynman, Diagrammes de

Mots clés libres

Modèles de matrices

Tenseurs aléatoires

B-déformation

Théories meloniques

Algèbre de contraintes

Double limite d'échelle

Matrix models

Random tensors

B-deformation

Melonic theories

Constraint algebra

Double scaling limit

Résumé

Le développement perturbatif en graphes de Feynman des théories des champs tensorielles peut s’interpreter comme séries génératrices pondérées de certaines variétés linéaires par morceaux. Cette remarque établi un lien entre deux domaines à priori très différents: la combinatoire des variétés discrètes d’une part et les théories de tenseurs aléatoires d’autre part. Dans cette thèse, nous nous intéressons à différentes propriétés gravitant autour de ce lien entre combinatoire et théorie des champs. Dans un premier temps, nous étudions certains modèles de constellations. Ces objets généralisent les cartes, ce qui en fait des candidats naturels pour comprendre la b-déformation, une déformation de l’algèbre des fonctions symétriques dont l’interprétation combinatoire est à l’origine de plusieurs conjectures sur la combinatoire des cartes. Nous étudierons les contraintes satisfaites par la série génératrice des constellations b-déformées que nous qualifions de cubiques. À partir de l’équation d’évolution satisfaite par cette serie génératrice, nous parvenons à extraire un ensemble de contraintes valides pour toute valeur du paramètre b. Dans un second temps, nous analysons la double limite d’échelle de certains modèles de tenseurs d’ordre 3. Lorsque l’ordre est supérieur à deux, la nature du développement en 1N - où N est la taille du tenseur- est qualitativement très différente du cas matriciel d’ordre 2. En particulier, seul l’ordre dominant du développement est connu explicitement. Malgré celà, il est possible d’identifier les graphes sous-dominant contribuant à la double limite d’échelle en implémentant la décomposition en schémas pour les graphes de Feynman. Une analyse des singularités de la série génératrice de ces schémas nous permet ensuite de caractériser précisément les graphes de la double limite d’échelle, et de donner une expression explicite de la fonction à deux points dans cette limite. Enfin, nous nous intéressons à une connection entre les théories des champs tensorielles et vectorielles admettant une limite melonique. Nous montrons qu’il est possible d’obtenir la théorie vectorielle de Amit-Roginski en considérant des perturbations particulières autour de solutions classiques aux équations du mouvement du modèle tensoriel de Boulatov. Nous donnons des conditions suffisantes sur ces solutions pour que l’action effective des perturbations prennent la forme de l’action du modèle de Amit-Roginski.

The perturbative expansion of tensorial field theories in Feynman graphs can be interpreted as weighted generating series of some piecewise linear varieties. This simple fact establishes a link between two a priori distinct fields: the combinatorics of discrete manifolds on one hand and tensorial field theories on the other hand. In this thesis, we study different aspects revolving around this connection between combinatorics and field theory. Firstly, we consider constellations model. These objects generalize maps and their algebraic properties. This makes them suited to probe the b-deformation, a deformation of the algebra of symmetric functions which has been conjectured to have a combinatorial interpretation. We will study the constraints satisfied by the generating series of cubical b-deformed constellations. Starting from a general evolution equation satisfied by this generating series, we extract the set of constraints satisfied by their generating series for all values of b. Secondly, we analyze the double scaling limit of particular tensor models of order 3. For tensor of order greater than two, the nature of the 1N -expansion - where N is the size of the tensor - is qualitatively different from the matrix case of order 2. In particular, only the leading order graphs are fully characterized. Despite this fact, it is possible to identify graphs of subleading orders contributing to the double scaling limit by implementing the scheme decomposition for Feynman graphs of these theories. An analysis of the singularity of the schemes then allows us to give a complete characterization of the graphs contributing to the double scaling limit. This further enables an explicit computation of the two-point function in this limit. Finally, we investigate a particular link between a tensor and a vector field theory which both admit a melonic limit. Namely, we will show that we can obtain the vectorial Amit-Roginski model by considering perturbations around a classical solution of the Boulatov model, a tensorial theory. We give sufficient conditions on the classical solution so that the effective action for the perturbation around this solution takes the form of the Amit-Roginski action.