Étude de la répartition de certaines sommes exponentielles courtes

Study of the distribution of some short exponential sums

• Auteur / Autrice : Théo Untrau
• Direction : Guillaume Ricotta, Florent Jouve
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 10/07/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Pascal Autissier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Farrell Brumley
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cécile Dartyge, Emmanuel Royer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Nombres relatifs

Sommes exponentielles

Mots clés libres

Équirépartition

Sommes exponentielles

Relations entre nombres algébriques

Fonctions traces

Equidistribution

Exponential sums

Relations between algebraic numbers

Trace functions

Résumé

Cette thèse porte sur des propriétés d'équirépartition de certaines sommes exponentiellesqui apparaissent naturellement en théorie analytique des nombres. Dans un premier temps, nous étendons des résultats de Duke, Garcia, Hyde et Lutz concernant des sommes de caractères additifs sur F_p, mais restreintes au groupe µ_d(F_p) des racines d-èmes de l'unité, pour un entier d fixé. Nous démontrons d'abord un résultat d'équirépartition portant sur des familles de sommes exponentielles paramétrées par le corps fini tout entier. Nous montrons ensuite qu'il y a toujours équirépartition si nos familles sont paramétrées par des ''petits'' sous-groupes multiplicatifs de F_p*. Cette généralisation s'appuie sur des majorations de sommes exponentielles qui ont été obtenues par Bourgain, Chang, Glibichuk et Konyagin par des méthodes de combinatoire additive.Dans un second temps, nous présentons les résultats d'un travail en commun avec Kowalski, où nous étendons les résultats précédents au cas des sommes exponentielles indexées par l'ensemble des racines dans F_p d'un polynôme unitaire à coefficients entiers. Nous montrons que ces sommes s'équirépartissent par rapport à une mesure qui est liée au groupe des relations additives entre les racines complexes du polynôme. On établit l'équirépartition des sommes de caractères multiplicatifs indexées par les racines d'un polynôme, mais cette fois-ci par rapport à une mesure qui est liée au groupe des relations multiplicatives entre les racines complexes. Nous présentons également des généralisations à des sommes de fonctions traces plus générales, ayant pour principal corollaire un résultat d'équirépartition de sommes de sommes de Kloosterman translatées par les racines d'un polynôme.Enfin, un chapitre de ce manuscrit est dédié à la majoration de la discrépance, qui est une mesure de la vitesse d'équirépartition.

This thesis is about equidistribution properties of some exponential sums which arise naturally in analytic number theory. First, we generalize results of Duke, Garcia, Hyde and Lutz concerning sums of additive characters of F_p, but restricted to the group µ_d(F_p) of d-th roots of unity, for a fixed integer d. We prove an equidistribution result for families of exponential sums parametrized by the whole finite field. Then, we show that this result still holds for families solely parametrized by ''small'' multiplicative subgroups of F_p*. This generalization relies on strong bounds on exponential sums which were obtained by Bourgain, Chang, Glibichuk and Konyagin using methods from additive combinatorics.Then, we present the results obtained as part of a joint work with Kowalski, in which we extend the previous results to the case of exponential sums over the roots in F_p of an arbitrary monic polynomial with integral coefficients. We show that these sums become equidistributed with respect to a measure that is related to the group of additive relations among the complex roots of the polynomial. Similarly, sums of multiplicative characters over the roots of a polynomial become equidistributed with respect to a measure that is related to the group of multiplicative relations among complex roots. We also present generalizations to sums of more general trace functions. The main corollary is an equidistribution result concerning sums of Kloosterman sums shifted by roots of a polynomial.Finally, a chapter of this manuscript is dedicated to the estimation of the discrepancy, which measures how fast equidistribution happens.