Structure de graphes, mineurs et arbres induits

Structure of graphs : minors and induced trees

• Auteur / Autrice : Claire Hilaire
• Direction : Cyril Gavoille
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 04/07/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Marc Zeitoun
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Éric Colin de Verdière
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Zi-Xia Song, David Eppstein, Gwenaël Joret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes) -- Informatique

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphe

Structure

Mineur

Surface

Planaire

Arbre

Graph

Structure

Minor

Surface

Planar

Tree

Résumé

Cette thèse traite des questions structurelles de la théorie des graphes qui découlent de motivations algorithmiques.En effet, les problèmes de graphes NP-complets sont typiquement plus faciles dès lors qu'on restreint la classe de graphes.Sur les arbres, qui sont des graphes connexes sans cycles, la programmation dynamique donne souvent un algorithme linéaire. Tous les graphes ne sont pas des arbres, mais il est possible de quantifier à quel point un graphe est plus complexe qu'un arbre.Un outil standard pour cela est la largeur arborescente, qui est profondément liée à la théorie des mineurs, comme nous allons voir dans le premier chapitre. Une autre stratégie consiste à obtenir une structure arborescente en supprimant le moins de sommets possible, comme nous le verrons dans le deuxième chapitre.Le premier chapitre porte sur l'idée de graphes universels pour la relation de mineur.Un graphe est mineur-universel pour une famille de graphes s'il contient comme mineur chaque graphe de la famille. Un résultat célèbre de Robertson, Seymour et Thomas en 1994 montre que la grille 2n times 2n est mineur-universelle pour la famille des graphes planaires à n sommets. Une façon d'affiner ce résultat est de trouver des sous-classes de graphes planaires à n sommets qui admettent une grille mineure-universelle plus petite. On dit que qu'un graphe planaire G admet un dessin sur une grille s'il existe un plongement de G sur une grille, tel que les sommets de G sont des sommets de la grille, et ses arêtes sont des suites de segments dont les jonctions sont placées sur des sommets des la grille. La taille d'un tel dessin est le nombre de sommets de la grille. L'idée est d'établir une relation entre la taille d'un dessin sur une grille d'un graphe H, et la taille de la plus petite grille qui admet H comme mineur.Plutôt que d'affiner le résultat, un autre direction consiste à le généraliser à une classe plus grande.On s'intéresse ici aux graphes de genre borné, le genre d'un graphe étant un paramètre entier qui généralise la notion de planarité.Plus précisément, nous montrons qu'il existe un graphe de genre g mineur-universel pour les graphes à n sommets de genre g, et dont la taille est polynomiale en n et g. Le deuxième chapitre se concentre sur la recherche d'une grande forêt (union de plusieurs arbres) induite dans un graphe. Un cas intéressant est celui où la forêt en question un unique chemin. En 2017, Esperet, Lemoine et Maffray ont conjecturé que tout graphe k-dégénéré avec un chemin à n sommets admet un chemin induit à log n ^{Omega_k(1)} sommets. Nous prouvons que c'est le cas pour plusieurs classes de graphes dégénérés, y compris la classe des graphes excluant un graphe comme mineur topologique. Dans le cas d'une forêt, le théorème d'ErdH{o}s-P'osa stipule que si un graphe n'a pas k cycles disjoints, alors il admet un ensemble de O(klog k) sommets dont l'élimination produit une forêt, appelé textit{feedback vertex set}. Nous obtenons une propriété similaire pour les graphes sans sous-graphe K_{t,t} et sans k cycles indépendants (disjoints et sans arête entre eux). La contrepartie de cette généralisation est un textit{feedback vertex set} dont la taille est logarithmique en la taille du graphe, et cette borne peut être atteinte.

This thesis deals with structural graph theory questions that stem from algorithmic motivations. Indeed, NP-complete graph problems are typically easier on restricted graph classes. On trees, which are connected graphs without cycles, dynamic programming often yields a linear algorithm. Not every graph is a tree, but we can measure how much more complex the graph is. A standard tool is the treewidth which is deeply connected to minor theory, as discussed in the first chapter. Another strategy is to obtain a much simpler structure by deleting as few vertices as possible, as discussed in the second chapter. The first chapter concerns the idea of minor-universality. A graph is minoruniversal for a family of graphs if it contains as a minor every graph in the family. A celebrated result of Robertson, Seymour, and Thomas in 1994 shows that the 2n × 2n-grid is minor-universal for the family of n-vertex planar graphs. One direction to refine this result is to find some subclasses of n-vertex planar graphs that admit a smaller minor-universal grid. A poly-line grid drawing of a planar graph G is a planar embedding of G such that its vertices are mapped on the vertices of the grid and its edges are curves made up of line segments connecting on vertices of the grid. The size of such drawing is the order of the grid. The idea is to establish a relation between the size of a poly-line grid drawing of a graph H and the order of the smallest grid that admits H as a minor. Another direction is to extend the result from planarity to bounded genus. More precisely, we show that there is a graph of genus g minor-universal for the n-vertex graphs of genus g, and whose order is polynomial in n and g. The second chapter focuses on finding a large induced forest in a graph. An interesting case is when the forest is required to be a single path. In 2017, Esperet, Lemoine, and Maffray conjectured that every k-degenerate graph with an n-path admits an induced log nΩk(1)-path. We prove that this holds for several degenerate classes, including the class of topological-minor-free graphs. In the case of a forest, the Erdős-Pósa theorem states that if a graph does not have k vertex-disjoint cycles, then it admits a set of O(k log k) vertices whose removal yields a forest, called the feedback vertex set. We obtain a similar property for the graphs with no Kt,t-subgraph and no k independent cycles (vertex-disjoint and no edge between them). The trade-off for this generalization is a feedback vertex set whose size depends in the logarithm of the order, and this is sharp.