Représentations de groupes de tresses via des revêtements cycliques

Representations of braid groups via cyclic coverings

• Auteur / Autrice : Gabrielle Menet
• Direction : Duc-Manh Nguyen, Vincent Koziarz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 03/07/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Anton Zorich
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jasmin Raissy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Deraux, Julien Marché

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations de groupes

Théorie des tresses

Mots clés libres

Groupes de tresses

Représentations

Revêtement cyclique

Representations

Cyclic coverings

Braid groups

Résumé

Les groupes de tresses sont des objets omniprésents dans plusieurs branches des mathématiques modernes : topologie, théorie géométrique des groupes, combinatoire, théorie des nombres... Comprendre les différentes facettes de ces groupes est un thème récurrent dans la littérature qui reste plus que jamais d'actualité. Dans les années 80 et 90, Deligne-Mostow puis Thurston, par deux approches différentes, ont découvert des représentations de Bn, le groupe de tresses à n brins, d'image dans U(n − 2, 1), dont certaines ont pour image des sous-groupes discrets de co-volume fini (de tels sous-groupes sont appelés réseaux) de U(n − 2, 1). Pendant longtemps, ces sous-groupes ont été les seuls exemples connus de réseaux non-arithmétiques de U(n − 2, 1). Dans un article plus récent, en utilisant des revêtements cycliques ramifiés au-dessus de n + 1 points de la sphère, McMullen construit des familles de représentations du groupe de tresses Bn dans des groupes U(r, s) avec différentes signatures (r, s). Il retrouve ainsi certains réseaux de Deligne-Mostow comme cas particuliers. Nous avons généralisé les constructions de McMullen, et obtenu de nouvelles représentations de groupes de tresses pures dans des groupes unitaires U(r, s). Pour cela, nous avons utilisé une surface de Riemann compacte, notée X, obtenue à partir de l'équation y^d =(x − b1)^{k1}* ... *(x - bn)^{kn} , où n, d ∈ N∗, b1, . . . , bn ∈ C sont deux à deux distincts, et k1, . . . , kn ∈ N∗. Le cas de McMullen est celui pour lequel ki = 1 pour tout i ∈ {1, . . . , n}. Cette surface X est un revêtement cyclique au dessus de la sphère de Riemann, ramifié au dessus des points bi et éventuellement de l'infini.Il existe un morphisme du groupe de tresses pures à n brins, noté PBn, à valeurs dans Mod(X), qui associe à chaque tresse pure la classe d'homotopie de l'un de ses relevés, qui est un homéomorphisme de X commutant avec l'action de Z/dZ.L'action de Z/dZ sur la cohomologie de X se décompose en sous-espaces proprespour des valeurs propres qui sont des racines d-èmes de l'unité. En considérant l'action des relevés sur chaque sous-espace propre, on obtient des représentations linéaires de PBn, qui sont unitaires par rapport à la restriction de la forme d'intersection sur la cohomologie. Notre étude repose en partie sur l'utilisation de suites de Mayer-Vietoris, nous permettant de faire des liens entre le cas de McMullen et notre cas généralisé. L'action de n'importe quelle tresse de PBn peut ensuite être explicitée. Nous avons aussi montré que les représentations obtenues sont irréductibles, et que les images de certaines d'entre elles sont Zariski denses dans SU(r, s).

Braid groups are ubiquitous objects in several branches of modern mathematics: topology, geometric group theory, combinatorics, number theory... Understanding the different facets of these groups is a recurrent theme in the literature that remains more relevant than ever. In the 1980s and 1990s, Deligne-Mostow and then Thurston, using two different approaches, discovered representations of Bn, the n-stranded braid group, with image in U(n - 2, 1), some of which have as image of discrete subgroups of finite co-volume (such subgroups are called networks) of U(n - 2, 1). For a long time, these subgroups were the only known examples of non-arithmetic networks of U(n - 2, 1). In a more recent paper, using cyclic coverings branched over n + 1 points of the sphere, McMullen constructs families of representations of the braid group Bn in groups U(r, s) with different (r, s) signatures. In this way he finds some Deligne-Mostow networks as special cases. We generalized McMullen's constructions, and obtained new representations of pure braid groups in unitary groups U(r, s). For this purpose, we used a compact Riemann surface, denoted X, obtained from the equation y^d =(x - b1)^{k1}* ... *(x - bn)^{kn} , where n, d ∈ N∗, b1, . . . , bn ∈ C are two distinct, and k1, . . . , kn ∈ N∗. The McMullen case is the one for which ki = 1 for all i ∈ {1, . , n}. This surface X is a cyclic covering over the Riemann sphere, branched over points bi and possibly infinity. There exists a morphism of the n-strand pure braid group, denoted PBn, with values in Mod(X), which associates to each pure braid the homotopy class of one of its statements, which is a homeomorphism of X commutating with the action of Z/dZ. The action of Z/dZ on the cohomology of X is decomposed into eigenspaces for eigenvalues that are d-th roots of unity. Considering the action of the readings on each eigensubspace, we obtain linear representations of PBn, which are unitary with respect to the restriction of the intersection form on the cohomology. Our study relies in part on the use of Mayer-Vietoris sequences, allowing us to make connections between the McMullen case and our generalized case. The action of any PBn braid can then be made explicit. We have also shown that the obtained representations are irreducible, and that the images of some of them are Zariski dense in SU(r, s).