Étude de quelques approximations hydrostatiques des modèles de la mécanique des fluides

Study of some hydrostatic approximations of fluid mechanics models

• Auteur / Autrice : Nacer Aarach
• Direction : Marius-Gheorghe Paicu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 20/03/2023
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : David Lannes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hajer Bahouri, Madalina-Elena Petcu, Ping Zhang
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Frédéric Charve, Wei-Xi Li, Christophe Prange

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Couche limite

Hydrostatique

Mots clés libres

Hydrostatique approximation

Existence globale

Couche limite

Viscosité évanescente

Hydrostatic approximation

Global existence

Boundary layers

Evanescent viscosity

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions trois modèles décrivant une approximation hydrostatique des équations issues de la mécanique des fluides telles que les équations de la magnétohydrodynamique, les équations primitives et les équations hyperboliques de Navier-Stokes. Dans le cadre de ce projet, nous avons déterminé l'impact que la méthode des estimations analytiques pourrait avoir sur le problème de la limite hydrostatique des équations de la mécanique des fluides avec une faible viscosité dans un domaine mince. Les équations de la magnéto-hydrodynamique et hyperbolique de Navier-Stokes avec une viscosité évanescente et conditions Dirichlet au bord du domaine, font intervenir des équations de type Prandtl qui régissent le comportement du fluide dans une couche limite proche du bord. Ces équations semblent être mal posées dans des espaces de Sobolev, mais elles sont bien posées pour des données initiales analytiques. Nous avons démontré par la méthode des estimations analytique qu'il est possible d'obtenir un résultat d'existence globale en temps dans l'espace des fonctions analytiques, à donnée initiale petite. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions le système magnétohydrodynamique dans tout l'espace de dimension trois R3. Dans ce cadre, on a obtenu deux résultats d'existence de solutions fortes globales pour ce système magnéto-hydrodynamique homogène et inhomogène. En effet, on a étudié ces équations dans un cadre homogène et inhomogène où on a pu montrer que nos équations sont globalement bien posées lorsque la dérivée verticale de nos données initiales satisfait une condition de petitesse.

In the first part of this thesis, we study three models describing a hydrostatic approximation of equations derived from equations of fluid mechanics such as the equations of magnetohydrodynamic, the primitive equations and the hyperbolic equations of Navier-Stokes. In this project, we determined the impact that the method of analytical estimates could have on the problem of the hydrostatic limit of the equations of fluid mechanics with low viscosity in a thin domain. The equations of the magnetohydrodynamic and hyperbolic Navier-Stokes with evanescent viscosity and Dirichlet conditions at the edge, involve the Prandtl equations that govern the behavior of the fluid in a boundary layer close to the edge. These equations seem to be poorly posed in Sobolev spaces, but they are well posed for initial analytical data. We have demonstrated by the method of analytical estimates that it is possible to obtain a global existence result in time in the space of analytical functions, with a small initial data. In the second part of this thesis, we study the magneto-hydrodynamic system in all the space of dimension three R3. In this context, we obtained two results of existence of strong global solutions for this homogeneous and inhomogeneous magneto-hydrodynamic system. Indeed, we studied these equations in a homogeneous and an inhomogeneous framework where we were able to show that our equations are generally well-posed when the vertical derivation of our initial data satisfies a smallness condition.