Contrôle optimal hybride : conditions d’optimalité et applications

Hybrid optimal control : optimalityconditions and applications

• Auteur / Autrice : Anas Bouali
• Direction : Térence Bayen, Loïc Bourdin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/11/2023
• Etablissement(s) : Avignon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale 536 « Sciences et agrosciences » (Avignon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire informatique d'Avignon
• Jury : Président / Présidente : Alain Rapaport
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Piernicola Bettiol, Olivier Cots
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Maria do Rosario de Pinho, Emmanuel Trélat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Principes du maximum (mathématiques)

Systèmes dynamiques hybrides

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Contrôle optimal

Systèmes hybrides

Principe du maximum de Pontryagin

Problèmes de temps de crise

Contrôle non-­permanent

Optimal control

Hybrid systems

Pontryagin maximum principle

Time crisis problems

Non-Permanent control

Résumé

Ce manuscrit aborde le domaine mathématique de la théorie du contrôle optimal en se concentrant spécifiquement sur les problèmes de contrôle optimal hybrides spatiaux. Ici, le terme spatial indique que nous considérons un système de contrôle hybride défini sur une partition de l’espace d’état qui est divisée en régions disjointes. De plus, nous supposons que le système de contrôle dépend d’un paramètre régional qui reste constant à l’intérieur de chaque région, mais peut changer sa valeur lorsque la position de l’état traverse les frontières. Ce nouveau cadre nous permet de traiter des systèmes de contrôle qui incluent des régions de perte contrôle, ce qui constitue notre motivation initiale. Dans ce type de système, étant donné une partition de l’espace d’état, le comportement du contrôle varie en fonction de la position de l’état. Il peut être modifié à tout moment (appelé contrôles permanents) lorsque l’état appartient à des régions appelées régions de contrôle, ou il peut rester constant lorsque l’état appartient à des régions appelées régions de perte contrôle. Dans les deux cadres, nos objectifs sont les suivants: (i) dériver un principe maximum hybride spatial (abrégé en HMP) avec un paramètre régional. (ii) dériver un principe maximum de Pontryagin avec des régions de de perte de contrôle. (iii) fournir une approche numérique permettant de résoudre des problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle. Ce manuscrit est composé de 6 chapitres : (1) Le chapitre 1 est consacré aux notations et au cadre fonctionnel nécessaires pour d´écrire le problème de contrôle optimal hybride avec paramètre régional et les problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle rencontres dans le manuscrit.(2) Le chapitre 2 est consacré à la d´dérivation d’un HMP spatial avec un paramètre régional, pour les problèmes de contrôle optimal hybride avec des conditions initiales fixes. Nous fournissons également les conditions nécessaires du premier ordre pour les problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle. (3) Le chapitre 3 est consacré à l’étude d’une variante du problème de temps minimal pour le double intégrateur avec une région de perte de contrôle. Cette dernière est basée sur un PMP adapté aux problèmes de temps minimal avec une région de perte de contrôle. (4) Le chapitre 4 se concentre sur la dérivation d’un HMP spatial basé sur une utilisation soigneuse de la technique d’augmentation. Cette dernière est basée sur l’introduction d’un nouveau concept de minimum local, puis sur la dérivation d’un PMP correspondant. (5) Le chapitre 5 est consacré à la d´dérivation d’un PMP avec des régions de perte de contrôle, ainsi qu’à une approche numérique en deux étapes pour résoudre ce type de problèmes. Pour ce faire, nous commençons par fournir un HMP spatial avec un paramètre régional (de manière similaire au chapitre 4). (6) Dans le chapitre 6, nous présentons une conclusion générale qui expose brièvement nos résultats de recherche et offre également des perspectives pour de futurs travaux

This manuscript deals with the mathematical field of optimal control theory, specifically focusing on spatially hybrid optimal control problems. Here, the term spatially indicates that we consider a hybrid control system defined over a partition of the state space that is divided into disjoint regions. Furthermore, we assume that the control system depends on a regionally switching parameter, which remains constant within each region but can change its value when the state position crosses boundaries. This new framework allows us to address control systems that includes loss control regions, which presents our initial motivation. In such systems, given a partition of the state space, the control behavior varies depending on the position of the state. It can be modified at any time (referred to as permanent controls) when the state belongs to regions referred to as control regions, or it can remain constant when the state belongs to regions referred to as loss control regions. In both frameworks, our goals are: (i) to derive a spatially hybrid maximum principle (in short, HMP) with regionally switching parameter. (ii) to derive a Pontryagin maximum principle with loss control regions. (iii) provide a numerical approach allowing to solve optimal control problems with loss control regions. To achieve these purposes, we introduce new tools and concepts that address certain challenges that can arise in a spatially hybrid setting. Specifically, based on careful investigation, we identify two main challenges: the nonadmissibility of needle-like perturbations and the inability to directly apply the well-known augmentation technique in a spatially hybrid setting. This manuscript is made up of 6 chapters: (1) Chapter 1 is devoted to notations and the basic framework needed to describe the hybrid optimal control problem with regionally switching parameters and optimal control problems with loss control regions encountered in the manuscript. (2) Chapter 2 is devoted to deriving a spatially HMP with regionally switching parameters for hybrid optimal control problems with fixed initial conditions. We also provide first-order necessary conditions for optimal control problems with loss control regions. (3) Chapter 3 is devoted to the study of a variant of the minimum time problem for the double integrator with a loss control region. The latter is based on a PMP adapted to a minimum time problem with a loss control region. (4) Chapter 4 focuses on the derivation of a spatially HMP based on a careful use of the augmentation technique. The latter is based on the introduction of a new concept of local minimum and the subsequentderivation of a corresponding PMP. (5) Chapter 5 is devoted to the derivation of a PMP with loss control regions, as well as a two-step numerical approach to solve this type of problem. To do so, we first provide a HMP with regionally switching parameters in a similar manner to Chapter 4. (6) In Chapter 6, we provide a general conclusion that briefly presents our research findings and provides someperspectives for future research work.