Reptation et conditionnement de processus de Lévy

Creeping and conditioning of Lévy processes

• Auteur / Autrice : Thomas Pellas
• Direction : Loïc Chaumont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs Interactions
• Date : Soutenance le 02/11/2023
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) - Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Kilian Raschel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Rodolphe Garbit, Hélène Guérin, Nathalie Krell, Victor Manuel Rivero Mercado
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Aleksandar Mijatović, Christophe Profeta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lévy, Processus de

Mots clés libres

Théorie des fluctuations

Reptation

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck

Conditionnement

Lévy fields

Fluctuation theory

Creeping

Ornstein-Uhlenbeck processes

Conditioning

Résumé

Dans une première partie, nous étudions la reptation de processus de Lévy à travers une courbe. Un processus de Lévy rampe à travers une courbe si, lors de son premier passage au-dessus de celle-ci, le processus atteint la courbe avec une probabilité non nulle. Étant donné une fonction continue et décroissante f telle que f(0) > 0, nous obtenons dans un premier temps une expression de la probabilité de reptation d’un subordinateur bivarié (Y, Z) issu de (0, 0) à travers le graphe de f en fonction de sa mesure de renouvellement et de son drift (dY , dZ). Nous appliquons ensuite ce résultat au processus d’échelle ascendant d’un processus de Lévy X et donnons une expression de la probabilité de reptation du processus X à travers le graphe de f en un temps en lequel celui-ci atteint son maximum passé. Dans ces deux cas, nous interprétons géométriquement la probabilité de reptation et dégageons ainsi une nouvelle notion, celle de reptation directionnelle. Nous obtenons ensuite des résultats relatifs à la reptation de processus de Lévy conditionnés à rester positif et de processus d’Ornstein-Uhlenbeck stables. En conclusion, nous formulons des conjectures concernant quelques questions qui, à notre connaissance, demeurent ouvertes. Dans une seconde partie, nous conditionnons un subordinateur bivarié (Y, Z), via une h-transformation de Doob, à être absorbé par le graphe de f, i.e. à atteindre continûment ce graphe et mourir. Nous construisons ensuite une mesure sous laquelle un processus de Lévy est conditionné à être absorbé par le graphe en un temps en lequel le processus atteint son maximum. Cette mesure est obtenue à l’aide d’un pont de premier passage du processus de Lévy initial. Enfin, dans le cas particulier d’un processus de stable, nous obtenons une construction trajectorielle du processus conditionné à être absorbé par un niveau fixe.

A Lévy process is said to creep through a curve if, at its first passage time across this curve, the process reaches it with positive probability. We first study this property for bivariate subordinators. Given the graph {(u, f(u)) : u ≥ 0} of any continuous, non increasing function f such that f(0) > 0, we give an expression of the probability that a bivariate subordinator (Y, Z) issued from (0, 0) creeps through this graph in terms of its renewal function and the drifts of the components Y and Z. We apply this result to the creeping probability of any real Lévy process through the graph of any continuous, non increasing function at a time where the process also reaches its past supremum. This probability involves the density of the renewal function of the bivariate upward ladder process as well as its drift coefficients. We also investigate the case of Lévy processes conditioned to stay positive creeping at their last passage time below the graph of a function. Then we provide some examples and we give an application to the probability of creeping through fixed levels by stable Ornstein-Uhlenbeck processes. We also raise a couple of open questions and formulate few conjectures. In a second time, given a bivariate subordinator (Y, Z), we obtain by a Doob h-transformation, a bivariate subordinator conditioned to hit continuously the graph {(u, f(u)) : u ≥ 0} and die. Then, we construct a measure under which a Lévy process is conditioned to hit this graph at a time the pro cess reaches its past supremum, using for this a first passage bridge. In the special case of stable Lévy processes, we obtain a pathwise construction of the process conditioned to hit continuously a fixed level from the paths of the unconditioned process.