Géométrie, topologie et dynamique des systèmes à N corps : perspectives quantiques et classiques

Geometry, topology and dynamics of many-body systems : quantum and classical perspectives

• Auteur / Autrice : Arthur Vesperini
• Direction : Marco Pettini, Roberto Franzosi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique et sciences de la matière. Physique théorique et mathématique
• Date : Soutenance le 11/12/2023
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Università degli studi (Sienne, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et sciences de la matière (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (Marseille ; Toulon ; 2012-....)
• Jury : Président / Présidente : Stefano Mancini
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vittorio Penna, Elena Floriani, Luca Varani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vittorio Penna, Michael Bachmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Informatique quantique

Méthode de Monte-Carlo

Géométrie de Riemann

Transition de phase

Systèmes complexes

Géométrie différentielle

Mécanique statistique

Mots clés libres

Mécanique statistique

Non-Linéaire

Géométrie différentielle

Systèmes complexes

Métastabilité

Transition de phase

Phase transitions

Statistical mechanics

Differential geometry

Complex systems

Differential topology

Metastability

Résumé

Dans la présente thèse, nous étudions diverses instances de systèmes à N corps, tant quantiques et classiques, en adoptant une perspective géométrique et topologique. Les systèmes comportant un grand nombre de degrés de liberté peuvent présenter une grande variété de phénomènes émergents, allant de la métastabilité aux transition de phase, et leurs propriétés complexes échappent souvent à notre compréhension complète. Grâce à une inspection minutieuse des structures géométriques sous-jacentes à ces objets complexes et à l'aide de divers outils mathématiques, dont certains sont empruntés au domaine de la géométrie et de la topologie riemanniennes, nous tentons de caractériser leurs aspects les plus importants.La première partie de cette thèse se concentre sur le domaine de l'information quantique, explorant notamment les notions d'intrication quantique et de corrélations dans les systèmes quantiques discrets, d'abord dans des états purs, puis dans des états mixtes.Nous proposons une nouvelle mesure de l'intrication pour les états quantiques purs, l'entanglement distance, la discutons et la testons sur divers exemples.Nous étudions ensuite les états purs maximalement intriqués, révélant en partie leurs structures internes, en utilisant les notion intuitive de corrélation et de mesure projective. Ce faisant, nous sommes en mesure de montrer des relations simples entre les corrélations pré-mesure et les valeurs moyennes post-mesure, et de fournir une limite supérieure à la persistance d'intrication de tels états.Nous démontrons en outre comment les propriétés de connectivité d'un modèle paradigmatique de l'informatique quantique, le graph state, peuvent être sondées grâce à l'utilisation appropriée de corrélateurs quantiques.Notre étude est ensuite étendue au cadre des états quantiques mixtes. Nous déduisons de l'entanglement distance définie sur les états purs, les mesures induites de la corrélations quantique d'une part, et de l'intrication des états mixtes d'autre part. Nous soulignons les forces et les limites de cette dernière mesure, en particulier la lourde procédure d'optimisation qu'elle implique, et pour laquelle nous proposons une solution de contournement. Enfin, nous étudions la transition superradiante présente dans le modèle de Tavis-Cummings et révélons qu'elle s'accompagne d'un saut dans la corrélation quantique et l'intrication entre les atomes.Dans la deuxième partie de notre travail, nous abordons deux modèles classiques, tous deux possédant des comportements non ergodiques et fortement non-linéaires.Nous présentons d’abord une étude complète, à la fois numérique et analytique, d’un modèle jouet, exemple prototypique de modèle fortement non-additif à interaction à longue portée : l'Hamiltonien de champ moyen (HMF). À basse énergie dans l’ensemble microcanonique, un état métastable peut apparaître, appelé bicluster. En inspectant la dynamique d'une quantité macroscopique, la magnétisation, et en observant l'apparition de deux échelles de temps distinctes dans le système, nous proposons un scénario assez intuitif et cohérent expliquant la grande stabilité des biclusters, qui se maintiennent pendant de très longues durées.Nous introduisons enfin les résultats d'une étude numérique approfondie, appliquant la théorie topologique des transitions de phase à un modèle de verre. De tels systèmes sont notoirement difficiles à simuler et à équilibrer, en raison de leur dynamique très lente, caractéristique de la phase vitreuse, et de leur tendance à rester coincée dans de petites régions de l'espace des phases. Dans un cadre microcanonique, un complexe algorithme de Monte Carlo a été développé. Nos résultats, bien que préliminaires, sont encourageants : la chaleur spécifique présente des pics clairs pour deux valeurs de l'énergie, indiquant une transition du second ordre en deux étapes, en correspondance avec les changements topologiques des ensembles de niveaux équipotentiels sur lesquels le système est confiné.

In the present thesis, we study various instances of many-body systems, both quantum and classical, adopting an overall geometrical and topological perspective. Systems with a large number of degrees of freedom can exhibit a great variety of emergent phenomena, from metastability to dynamical or thermodynamical phase transition, and their intricate properties often eludes our full understanding. Through careful inspection of the underlying geometrical structures behind these complex objects, and using diverse mathematical tools, some of which borrowed from the field of Riemannian geometry and topology, we try to characterize their most prominent aspects.The first part of this thesis focuses on the field of quantum information, exploring in particular the notions of entanglement and correlations in discrete quantum systems, first in pure, then in mixed states.We propose a novel measure of entanglement for pure quantum states, the entanglement distance, discuss it and test it on various examples.We then study maximally entangled pure states, revealing in part their internal structures, using the intuitive notion of correlations and projective measurements. Doing so, we are able to show simple relations between pre-measurement correlations and post-measurement expectation values, and to provide an upper bound to the persistency of entanglement of such states.We further demonstrate how the connectivity properties of a paradigmatic model for quantum computing, the celebrated graph state, can be probed through the proper utilization of quantum correlators.Our study is next extended to the framework of mixed quantum states. We infer from the pure state entanglement distance, the induced measures of quantum correlations on one hand, and of mixed state entanglement on the other hand. We emphasize the strengths and limitations of the latter, in particular the heavy optimization procedure it implies, and for which we propose a workaround. Lastly, we investigate the superradiant transition present in the Tavis-Cummings model and reveal that it is accompanied by a jump in the quantum correlation and entanglement between the atoms.In the second part of our work, we tackle with two classical models, both possessing ergodicity-breaking and strongly non-linear behaviours.We first present a comprehensive investigation, both numerical and analytical, of a toy model, prototypical example of long-range interacting, strongly non-additive model: the Hamiltonian Mean Field (HMF). At low energy in the microcanonical ensemble, a metastable state may arise, coined as a bicluster. By inspecting the dynamics of a macroscopic quantity, the magnetization, and by observing the occurrence of two distinct timescales in the system, we provide a quite intuitive and self-consistent scenario accounting for the great stability of biclusters, which sustain themselves for extensive amounts of time.We finally introduce the results of an extensive numerical study, applying the topological theory of phase transition to a model of glass-forming material. Such systems are notoriously difficult to simulate and equilibrate, because of the very slow dynamics, characteristic of the glass phase, yielding a tendency to remain stuck in small regions of phase space. Within a microcanonical framework, a Monte Carlo algorithm was developed, for which various numerical methods were implemented, such as parallel tempering and particle swapping. Our results, though preliminary, are encouraging: the heat capacity is found to exhibit clear peaks for two values of the energy, indicating a two-step second order transition, in correspondence with topological changes of the equipotential level sets on which the system is confined.