Solutions asymptotiquement quasipériodiques pour des hamiltoniens dépendant du temps

Asymptotically quasiperiodic solutions for time-dependent Hamiltonians

• Auteur / Autrice : Donato Scarcella
• Direction : Jacques Féjoz, Abed Bounemoura
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Alain Chenciner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques Féjoz, Abed Bounemoura, Alain Chenciner, Massimiliano Berti, Marcel Guardia, Anna Florio, Patrick Bernard, Raphaël Krikorian
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Massimiliano Berti, Marcel Guardia

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorème KAM

Systèmes hamiltoniens

Mécanique céleste

Mots clés libres

Système dynamique

Tores KAM

Dépendance du temps

Dynamical systems

KAM tori

Time-Dependence

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux systèmes hamiltoniens dépendants du temps. Plus précisément, nous étudions l’existence d’orbites convergeant, quand t → ±∞, vers des solutions quasipériodiques. Après la première partie consacrée à l’introduction, les résultats de cette thèse sont divisés en quatre parties.Dans la première partie, nous analysons quand ce genre d’orbites existent pour des hamiltoniens dépendants du temps convergeant asymptotiquement dans le temps (t → +∞) vers des hamiltoniens ayant un tore invariant supportant des solutions quasipériodiques.Une deuxième partie est consacrée à l’étude des conditions d’existence des orbites définies pour tous les temps et convergeant asymptotiquement dans le temps vers certaines solutions quasipériodiques dans le passé (t → +∞) et dans le futur (t → +∞).La troisième partie est dédiée aux applications en mécanique céleste. Nous considérons l’exemple d’un système planétaire perturbé par une comète venant et revenant à l’infini asymptotiquement le long d’une orbite képlérienne hyperbolique. Ici, le hamiltonien qui décrit ce système ne satisfait pas des bonnes propriétés de décroissance parrapport au temps. Par conséquent, les résultats des parties précédentes ne s’appliquent pas. Donc, nous sommes obligés de prouver un autre théorème abstrait pour montrer l’existence d’orbites appropriées associées à ce système. Nous concluons cette thèse en étudiant des hamiltoniens dépendants du temps convergeant asymptotiquement par rapport au temps (t → +∞) vers des hamiltoniens ayant un tore invariant supportant une dynamique arbitraire. Ici, nous prouvons l’existence de certaines orbites convergeant asymptotiquement dans le temps (t → +∞) vers la dynamique arbitraire associée au tore invariant précédent.

In this thesis, we are interested in time-dependent Hamiltonian systems. More specifically, we study the existence of orbits converging, when t → ±∞, to some quasiperiodic solutions. After the first part dedicated to the introduction, the results of this thesis are divided into four parts.In the first part, we analyze when the above-mentioned orbits exist for time-dependent Hamiltonians converging asymptotically in time t → +∞ to Hamiltonians having an invariant torus supporting quasiperiodic solutions.A second part is devoted to studying the conditions of existence of orbits defined for all times and converging asymptotically in time to some quasiperiodic solutions in the past t → –∞ and in the future t → +∞.The third part is dedicated to the applications in celestial mechanics. We consider the example of a planetary system perturbed by a comet coming from and going back to infinity asymptotically along a hyperbolic keplerian orbit. Here, the Hamiltonian which describes this system does not satisfy good time decay properties. Hence, the results of the previous parts do not apply. Therefore, we are forced to prove another abstract theorem to show the existence of suitable orbits associated with this system.We conclude this thesis by studying time-dependent Hamiltonians converging asymptotically in time t → +∞ to Hamiltonians having an invariant torus supporting arbitrary dynamics. Here, we prove the existence of some orbits converging asymptotically in time t → +∞ to the arbitrary dynamics associated with the above-mentioned invariant torus.