Thèse soutenue

Régularisation par la variation totale pour la reconstruction d'images constantes par morceaux : identification du support et méthodes numériques sans grille

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Auteur / Autrice : Romain Petit
Direction : Vincent DuvalYohann de Castro
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 12/12/2022
Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
Jury : Président / Présidente : Gabriel Peyré
Examinateurs / Examinatrices : Vincent Duval, Yohann de Castro, Gabriel Peyré, Otmar Scherzer, Marc Dambrine, Antonin Chambolle, Simon Masnou, Blanche Buet
Rapporteurs / Rapporteuses : Otmar Scherzer, Marc Dambrine

Mots clés

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Résumé

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On s'intéresse dans cette thèse à une famille de problèmes inverses, qui consistent à reconstruire une image à partir de mesures linéaires possiblement bruitées. On cherche à analyser les méthodes de reconstruction variationnelles utilisant un régulariseur spécifique, la variation totale (du gradient). Cette fonctionnelle est utilisée en imagerie depuis les travaux de Rudin Osher et Fatemi, menés en 1992. Alors qu'il est bien connu que sa minimisation produit des images constantes par morceaux, présentant une forme de parcimonie (elles sont composées d'un petit nombre de formes simples), ce point de vue n'a à notre connaissance pas été privilégié pour analyser les performances de ce régulariseur. Dans cette thèse, on se propose de mener cette étude.Dans un premier temps, on considère les reconstructions obtenues par minimisation de la variation totale dans un régime de faible bruit, et on étudie leur proximité avec l'image inconnue. Puisque cette dernière est supposée parcimonieuse, on s'intéresse particulièrement à la structure de la reconstruction: est-elle elle-même parcimonieuse, est-elle composée du même nombre de formes, et ces formes sont-elles proches de celles présentes dans l'image inconnue ? Dans une seconde partie, on propose une méthode numérique pour résoudre les problèmes variationnels associés à ce régulariseur. On introduit un algorithme ne reposant pas sur l'introduction d'une discrétisation spatiale fixe. Ceci a l'avantage, contrairement aux techniques existantes, de n'introduire ni flou ni anisotropie dans les images reconstruites, et d'en produire une représentation parcimonieuse.