Etude des beta-ensembles et leur limite à haute température

Study of beta-ensembles and their high-temperature limit

• Auteur / Autrice : Hugo Magaldi
• Direction : Djalil Chafaï, Laure Dumaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Curien
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Laure Dumaz, Nicolas Curien, Catherine Donati-Martin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nicolas Curien, Catherine Donati-Martin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Matrices aléatoires

Physique statistique

Mots clés libres

Beta-Ensembles

Matrices aléatoires

Opérateurs stochastiques

Diffusions

Physique statistique

Gas de Coulomb

Beta-Ensembles

Random Matrices

Stochastic operators

Diffusions

Statistical physics

Coulomb gases

Résumé

Cette thèse porte sur les comportements global et local des beta-ensembles lorsque leur dimension tend vers l’infini, d’abord à beta > 0 fixé puis dans la limite haute température, lorsque beta tend vers 0. Dans une première partie, nous étudions les ensembles beta-Hermite, beta-Laguerre et beta-Jacobi lorsque beta > 0.Le chapitre 1 introduit des représentations matricielles de ces ensembles et explique la convergence de leurs mesures spectrales vers des mesures d’équilibre. Les chapitres 2 et 3 présentent des classes d’universalité pour les comportementslocaux des beta-ensembles lorsque leur dimension tend vers l’infini, définies parles processus ponctuels des valeurs propres de certains opérateurs stochastiques.Dans une seconde partie, les chapitres 4, 5 et 6 s’intéressent au comportement des valeurs propres de ces opérateurs stochastiques dans la limite haute température. Le chapitre 5 présente les résultats précédents de Laure Dumaz et Cyril Labbé sur l’opérateur stochastique d’Airy. Le Chapitre 6 contient notre contribution de recherche, avec l’étude des plus petites valeurs propres l’opérateur stochastique de Bessel dans la limite haute température.

This thesis focuses on the global and local behavior of beta-ensembles when their size tends to infinity, first at set beta > 0, then in the high temperature limit, when beta tends to 0. In a first part, we study the beta-Hermite, the beta-Laguerre and the beta-Jacobi ensembles when beta > 0. Chapter 1 introduces matrix models for these ensembles and explains the convergence of their spectral measures to equilibriummeasures. Chapters 2 and 3 present universality classes for the local behaviorsof beta-ensembles in the large dimension limit, defined using the eigen values point processes of stochastic operators. In a second part, we analyze the eigen values of these stochastic operators in the high temperature limit. Chapter 5 presents the previous results from Laure Dumaz and Cyril Labbé on the stochastic Airy operator. Chapter 6 contains our research contribution, with the study of the smallest eigen values stochastic Bessel operator in the high temperature limit.