Systèmes quantiques non linéaires en dissociation : l'exemple du graphène

Nonlinear quantum systems at dissociation : the example of graphene

• Auteur / Autrice : Jean Cazalis
• Direction : Mathieu Lewin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/07/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Clotilde Fermanian-Kammerer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mathieu Lewin, Clotilde Fermanian-Kammerer, Marcello Porta, Nicolas Rougerie, Isabelle Catto, Bernard Helffer, Antoine Levitt
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marcello Porta, Nicolas Rougerie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théories non linéaires

Matière -- Propriétés

Hartree, Méthode de

Hartree-Fock, Méthode d'approximation

Mots clés libres

Opérateur de Schrödinge périodiques

Analyse non linéaire

Graphène

Hartree-Fock

Points de Dirac

Periodic Schrödinger operators

Nonlinear analysis

Graphene

Hartree-Fock

Dirac points

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude mathématique des propriétés électroniques de la matière. Les systèmes, moléculaires ou cristallins, sont décrits à l'aide de modèles non linéaires issus de la mécanique quantique. On considère alors le régime de dissociation, c'est-à-dire lorsque les distances entre les noyaux sont grandes. Dans le Chapitre 1, on étudie le modèle de Hartree diatomique, en dimension deux ou trois, et on quantifie précisément l'effet tunnel entre les deux premiers modes propres. Dans le Chapitre 2, on montre que si une condition de non-dégénérescence est vérifiée alors le modèle de Hartree-Fock réduit du graphène présente des singularités coniques, appelées points de Dirac. De plus, on prouve que le niveau de Fermi coïncide avec le niveau d'énergie de ces cônes. Pour cela, on dérive certaines conditions sous lesquelles les relations de dispersion d'un opérateur de Schrödinger périodique sont données, au premier ordre et dans le régime de dissociation, par le modèle de liaison forte correspondant.

This thesis is devoted to the mathematical study of electronic properties of matter. The systems, both molecular and crystalline, are described by nonlinear models coming from quantum mechanics. Then, we consider the dissociation regime, that is when the distances between the nuclei are large. In Chapter 1, we study the diatomic Hartree model, both in dimension two and three, and we precisely estimate the quantum tunneling between the first two eigenfunctions. In Chapter 2, we show that if a non-degeneracy condition is satisfied then the reduced Hartree-Fock model of graphene presents conical singularities, called Dirac points. In addition, we show that the Fermi level coincides with the energy of these cones. In this direction, we derive conditions under which the dispersion relation of periodic Schrödinger operator is given, to leading order and in the dissociation regime, by the corresponding tight-binding model.