Inférence statistique sur des variétés inconnues

Statistical inference on unknown manifolds

• Auteur / Autrice : Clément Berenfeld
• Direction : Marc Hoffmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/09/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Elisabeth Gassiat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Hoffmann, Elisabeth Gassiat, Frédéric Chazal, Richard Nickl, Catherine Aaron, Vincent Rivoirard, Judith Rousseau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Chazal, Richard Nickl

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mesure géométrique, Théorie de la

Variétés (mathématiques)

Statistique bayésienne non paramétrique

Mots clés libres

Statistique non-Paramétrique

Apprentissage sur variété

Inférence géométrique

Estimation de densité

Inférence bayésienne

Estimation du reach

Statistique en grande dimension

Théorie minimax

Estimation adaptative

Mesure de centralité

Profondeur statistique

Nonparametric statistics

Manifold learning

Geometric inference

Density estimation

Reach estimation

Bayesian inference

High-dimensional statistics

Manifold hypothesis

Minimax theory

Adaptive estimation

Centrality measure

Data depth

Résumé

En statistique, l’hypothèse des variétés suppose que les données observées se répartissent autour de structures de faible dimension, appelées variétés. Ce postulat permet d’expliquer pourquoi les algorithmes d’apprentissage fonctionnent bien même sur des données en grande dimension, et est naturellement satisfait pour de nombreux jeux de données issus de la vie réelle. Nous présentons dans cette thèse quelques contributions aux problèmes d’estimation de deux quantités sous cette hypothèse : la densité de la distribution sous-jacente, et le reach de son support. Pour l’estimation du reach, nous élaborons des stratégies basées sur des invariants géométriques, avec d’une part la fonction de défaut de convexité, et d’autre part, des mesures de distortion métrique, desquels nous obtenons des vitesses de convergence optimales au sens minimax. Concernant l’estimation de la densité, nous proposons deux approches : l’une s’appuyant sur l’étude fréquentiste d’un estimateur à noyaux, et une approche bayésienne non-paramétrique se reposant sur des mélanges de gaussiennes. Nous montrons que ces deux méthodes sont optimales et adaptatives en la régularité de la densité. Enfin, nous examinons le comportement de certaines mesures de centralité dans des graphes aléatoires géométriques, l’étude duquel, bien que sans lien avec l’hypothèse des variétés, a des implications méthodologiques et théoriques qui peuvent être intéressantes dans tout cadre statistique.

In high-dimensional statistics, the manifold hypothesis presumes that the data lie near low-dimensional structures, called manifolds. This assumption helps explain why machine learning algorithms work so well on high-dimensional data, and is satisfied for many real-life data sets.We present in this thesis some contributions regarding the estimation of two quantities in this framework: the density of the underlying distribution, and the reach of its support. For the problem of reach estimation, we suggest different strategies based on important geometric invariants — namely the convexity defect functions, and measures of metric distortions — from which we derive minimax-optimal rates of convergence. Regarding the problem of density estimation, we propose two approaches: one relying on the frequentist study of a kernel density estimator, and a Bayesian nonparametric approach based on location-scale mixtures of Gaussians. Both methods are shown to be optimal in most settings, and adaptive to the smoothness of the density. Lastly, we examine the behavior of some centrality measures in random geometric graph, the study of which, although unrelated to the manifold hypothesis, bears methodological and theoretical implications that can be of interest in any statistical framework.