Jeux à champ moyen et transport optimal dans la modélisation urbaine

Mean field games and optimal transport in urban modelling

• Auteur / Autrice : Quentin Petit
• Direction : Guillaume Carlier, Yves Achdou, Daniela Tonon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/02/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Filippo Santambrogio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Guillaume Carlier, Yves Achdou, Daniela Tonon, Filippo Santambrogio, Alfred Galichon, Olivier Guéant, Clémence Alasseur
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alfred Galichon, Olivier Guéant

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transport optimal de mesure

Simulation numérique directe

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Modélisation

Problème de contrôle optimal

Jeux à champ moyen

Transport optimal

Jeux non-Atomiques

Simulations numériques

Modelling

Optimal control problem

Mean field games

Optimal transport

Non-Atomic games

Numerical simulations

Résumé

Le marché du travail est étroitement lié aux marchés de l'immobilier locatif pour les professionnels et pour les particuliers. L’objet de cette thèse est l’étude des interactions de ces marchés.Dans un premier temps, nous développons et étudions un modèle de jeux à champ moyen permettant de lier le marché du travail avec celui de l’immobilier locatif pour les professionnels. Dans un cadre spécifique où la production des firmes est supposée à rendement d'échelle constant, nous montrons que les équilibres admettent une forme explicite qui nous permet d'établir leur existence et leur unicité. Plusieurs lois économiques, dont celle de Pareto et celle de Gibrat, se vérifient. Puis, dans un cadre plus général où nous supposons que la production est à rendement d'échelle strictement décroissant, nous établissons plusieurs résultats d'existence, et retrouvons la règle d'or d'accumulation du capital. Enfin, nous présentons une méthode numérique pour approcher les équilibres. Nous détaillons plusieurs simulations et étudions l'influence de certains paramètres sur l'équilibre calculé en faisant de la statique comparative.Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un modèle liant le marché du travail avec celui de l'immobilier locatif pour les particuliers. Il admet une composante spatiale et permet de déterminer la distribution des résidences, les salaires et les loyers. Ces trois résultats du modèle vérifient trois conditions d'équilibres : celle du marché du travail, celle du marché de l'immobilier, et une condition de mobilité. La condition sur le marché du travail est liée à un problème de transport optimal, tandis que les deux autres sont liées à un jeu statique non-atomique. Les résultats d'existence et d'unicité d'équilibres que nous établissons exploitent le fait, qu'à l'équilibre, la distribution des résidences admet une forme explicite. Puis plusieurs extensions sont considérées comme l'adaptation du modèle au télétravail. Nous terminons par la présentation d'une méthode numérique développée dans le but d'approcher les équilibres et l'étude, en faisant de la statique comparative, de l'influence de certains paramètres du modèle sur l'équilibre calculé.

The labour market is closely linked to the rental markets for professionals and for individuals. The purpose of this thesis is to study the interactions of these markets.In a first step, we develop and study a mean field game model that links the labour market with the rental market for professionals. In a specific framework where firms' production is assumed to have constant returns to scale, we show that the equilibria admit an explicit form that allows us to establish their existence and uniqueness. Several economic laws, including Pareto's law and Gibrat's law, hold true. Then, in a more general framework where we assume that the production has decreasing returns to scale, we establish several existence results and find the golden rule of capital accumulation. Finally, we present a numerical method to approximate the equilibria. We detail several simulations and study the influence of some parameters on the computed equilibrium by doing comparative statics.In a second step, we focus on a model linking the labour market with the rental market for individuals. It admits a spatial component and allows us to determine the distribution of residences, wages and rents. These three outputs verify three equilibrium conditions: the labour market condition, the housing market condition, and a mobility condition. The labour market condition is related to an optimal transport problem, while the other two are related to a static non-atomic game. The existence and uniqueness results we establish, exploit the fact that, at equilibrium, the distribution of residences admits an explicit form. Then, several extensions are considered such as the adaptation of the model to telecommuting. We conclude with the presentation of a numerical method developed to approach equilibria and the study, by doing comparative statics, of the influence of some parameters of the model on the calculated equilibrium.