Calcul de l’homogénéisation de la conductivité thermique des matériaux hétérogènes par la méthode des différences finies

Computation homogenization of heterogeneous materials' thermal conductivity by the Finite Difference Method

• Auteur / Autrice : Ziming Xiong
• Direction : Zhi-Qiang Feng, Gaëtan Hello
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des solides
• Date : Soutenance le 31/03/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Mécaniques et Energétiques, Matériaux et Géosciences
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mécanique et d'Energétique de l'université d'Evry (Evry, Essonne) - Laboratoire de Mécanique et d'Energétique de l'université d'Evry (Evry, Essonne)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université d'Évry-Val-d'Essonne (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Sciences de l'ingénierie et des systèmes (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Samuel Forest
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yuming Li, Mabrouk Ben Tahar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yuming Li, Mabrouk Ben Tahar

Mots clés

Mots clés contrôlés

Différences finies

Milieux hétérogènes (physique)

Conductivité thermique

Homogénéisation (équations différentielles)

Mots clés libres

Matériaux hétérogènes

Heterogeneous materials

Résumé

De nos jours, les matériaux hétérogènes sont de plus en plus utilisés pour leurs propriétés générales supérieures, comme les milieux poreux, qui sont largement utilisés dans les industries électroniques et biomédicales. La détermination de la conductivité thermique équivalente(CTE) des matériaux hétérogènes est donc essentielle pour la conception correcte des équipements industriels qui peuvent être soumis à des charges thermiques sévères pendant leur utilisation. L’objectif principal de cette thèse est de calculer l’homogénéisation de la conductivité thermique de matériaux hétérogènes en utilisant la méthode des différences finies (FDM). Voxel a été choisi pour la modélisation des matériaux hétérogènes et le schéma de Günter sera employé comme technique principale pour les problèmes de diffusion thermique anisotrope. Le système de Günter bidimensionnel est redémontré dans cette thèse, ainsi qu’une extension au modèle tridimensionnel, de même que des méthodes pour charger des conditions aux limites périodiques et uniformes mixtes. Les trois méthodes (FDM, FEM, et FEM+pixel(voxel)) sont comparées pour des RVEs 2D tels que des croix, des cercles et des ellipses et pour des RVEs 3D tels que des sphères et des cylindres. On découvre que la méthode FDM développée produit des résultats qui sont cohérents avec ceux de FEM et FEM+pixel (voxel) et que la méthode FDM surpasse FEM+pixel(voxel) en termes de vitesse de convergence. Cette méthode a également été appliquée à des matériaux en argent fritté pour l’étude de la conductivité thermique équivalente. Des comparaisons entre les deux méthodes (FDM et FEM) sont effectuées pour les cellules unitaires classiques telles que le cubique simple, le cubique centré sur le corps et le cubique centré sur la face, ainsi que pour le modèle stochastique à base d’argent. L’algorithme de différences finies développé est valide, et des résultats cohérents sont obtenus. En plus du schéma de Günter, un modèle à 5 points et un modèle intégral ont également été développés en s’inspirant du schéma de Günter. Pour le calcul haute performance, la bibliothèque Eigen et la bibliothèque Pardiso sont également détaillées dans la thèse. Ces deux bibliothèques contiennent à la fois des solutions directes et itératives pour la résolution d’équations linéaires. Cependant, alors qu’Eigen ne permet le calcul parallèle que de la solution itérative, Pardiso permet le calcul parallèle des deux approches, et le parallélisme est nettement supérieur à celui d’Eigen. Alors que Eigen est plus simple à construire et plus puissant, Pardiso est plus rapide pour traiter les problèmes complexes.

Nowadays, heterogeneous materials are in-creasingly used for their superior overall properties, suchas porous media, which are widely used in the electronicsand biomedical industries, so determining the equivalentthermal conductivity (ETC) of heterogeneous materials isessential for the correct design of industrial equipment thatmay be subjected to severe thermal loads during use.The main objective of this thesis is to calculate the ho-mogenization of the thermal conductivity of heteroge-neous materials using the finite difference method. Voxelwas chosen for modeling heterogeneous materials and the Günter scheme will be employed as the primary tech-nique for anisotropic thermal diffusion problems. Thetwo-dimensional Günter system is re-demonstrated in thisthesis, along with an extension to the three-dimensionalmodel, as well as methods for loading periodic and mixeduniform boundary conditions. The three methods (FDM,FEM, and FEM+pixel(voxel)) are compared for 2D RVEssuch as crosses, circles, and ellipses and for 3D RVEs suchas spheres and cylinders. It is discovered that the devel-oped FDM produces results that are consistent with thoseof FEM and FEM+pixel(voxel) and that the FDM outper-forms FEM+pixel(voxel) in terms of convergence speed.This method has also been applied to sintered silver ma-terials for the study of equivalent thermal conductivity.Comparisons between the two methods (FDM and FEM)are carried out for the classical unit cells such as simple cu-bic, body-centered cubic, and face-centered cubic, as wellas the silver-based stochastic model. The developed finitedifference algorithm is valid, and consistent results are ob-tained. In addition to the Günter scheme, a 5-point modeland an integral model have also been developed inspiredby the Günter scheme.For high-performance computing, the Eigen library andthe Pardiso library are also detailed in the thesis. Both li-braries contain both direct and iterative solutions for solv-ing linear equations. However, while Eigen allows for parallel computation of only the iterative solution, Pardisoallows for parallel computation of both approaches, andthe parallelism is significantly superior than that of Eigen.While Eigen is more straightforward to construct and morepowerful, Pardiso is faster at tackling complex problems.