Les intégrales sphériques et leurs applications à la théorie des matrices aléatoires

Spherical integrals and their applications to random matrix theory

• Auteur / Autrice : Pierre Mergny
• Direction : Satya N. Majumdar, Marc Potters
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 12/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (Orsay, Essonne ; 1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Physique (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Giulio Biroli
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierpaolo Vivo, Adam W. Marcus, Alice Guionnet, Jorge Kurchan, Florent Benaych-Georges
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierpaolo Vivo, Adam W. Marcus

Mots clés

Mots clés contrôlés

Distribution asymptotique (théorie des probabilités)

Haar, Intégrales de

Grandes déviations

Matrices aléatoires

Mots clés libres

Matrices aléatoires

Intégrales sphériques

Probabilités libres

Grandes déviations

Random matrix

Spherical integrals

Free probability

Large deviations

Résumé

La théorie des matrices aléatoires a des applications dans de nombreux domaines de la physique (systèmes désordonnés, stabilité de systèmes dynamiques, modèles d'interfaces, transport électronique,...) et des mathématiques (algèbre d'opérateurs, combinatoire énumérative, théorie des nombres,...). Un cas de figure récurrent dans de nombreux domaines consiste à comprendre comment les spectres de deux matrices aléatoires se recombinent quand on effectue leur somme ou leur produit. Dans cette thèse, on étudie ce problème par le prisme des intégrales sphériques et à l'aide d'outils issus de la physique statistique. Ces intégrales sphériques jouent le rôle de la transformée de Fourier dans la théorie des matrices aléatoires et leurs études permet de mieux comprendre les propriétés de la densité limite des valeurs propres de ces modèles de matrices ainsi que le comportement de leur plus grande valeur propre.

Random matrix theory has found applications in many fields of physics (disordered systems, stability of dynamical systems, interface models, electronic transport,...) and mathematics (operator algebra, enumerative combinatorics, number theory,...). A recurrent problem in many domains is to understand how the spectra of two random matrices recombine when we perform their sum or product.In this thesis, we study this problem through the prism of spherical integrals and with the help of statistical physics tools. These spherical integrals play the role of the Fourier transform in random matrix theory and their study allows us to better understand the properties of both the limiting spectral density and the largest eigenvalue of these matrix models.