Approches d'analyse de sensibilité pour modèles stochastiques. Application aux modèles compartimentaux en épidémiologie

Sensitivity analysis approaches for stochastic models. Application to compartmental models in epidemiology

• Auteur / Autrice : Henri Mermoz Kouye
• Direction : Elisabeta Vergu, Clémentine Prieur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
• Date : Soutenance le 02/12/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et Informatique Appliquées du Génome à l'Environnement (Jouy-en-Josas, Yvelines)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Barbillon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophette Blanchet-Scalliet, Olivier Roustant, Olivier Le Maître, Robert Faivre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Christophette Blanchet-Scalliet, Olivier Roustant

Mots clés

Mots clés contrôlés

Épidémiologie

Processus stochastiques

Monte-Carlo, Méthode de

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Mots clés libres

Analyse de sensibilité

Indices de Sobol

Méthodes de Monte Carlo

Processus stochastiques

Modèles épidémiologiques

Algorithmes de simulation exacte

Sensitivity analysis

Sobol' indices

Monte Carlo methods

Stochastic processes

Epidemic models

Exact simulation algorithms

Résumé

Cette thèse traite de l'analyse de sensibilité des modèles stochastiques. Ces modèles sont souvent entachés d'incertitudes qui proviennent principalement de deux sources : l'incertitude paramétrique liée à la méconnaissance des paramètres et l'aléa intrinsèque qui représente le bruit inhérent au modèle provenant de la façon dont le hasard intervient dans la description du phénomène modélisé. La présence de l'aléa intrinsèque constitue un défi en analyse de sensibilité car, d'une part, il est en général caché et donc ne peut pas être caractérisé et, d'autre part, il agit comme un bruit lorsqu'on évalue l'impact des paramètres sur la sortie du modèle. Or, dans un domaine comme l'épidémiologie, les enjeux associés à la sensibilité d'un modèle peuvent être importants dans la gestion des épidémies car impactant les décisions prises sur la base de ce modèle. Cette thèse étudie des approches d'analyse de sensibilité des modèles stochastiques tels que les modèles épidémiologiques basés sur des processus stochastiques, dans le cadre de l'analyse basée sur la variance. Dans un contexte général, nous introduisons une méthode qui optimise le compromis entre le nombre de valeurs de paramètres des modèles et le nombre de réplications des évaluations en ces valeurs à considérer dans l'estimation des indices de sensibilité. Pour cette méthode, nous considérons la classe des quantités d'intérêt de la sortie des modèles stochastiques qui sont sous la forme d'espérances conditionnelles par rapport aux paramètres. Dans le cadre de l'estimation des indices de sensibilité par la méthode de Monte-Carlo, nous contrôlons le risque quadratique des estimateurs, montrons sa convergence et trouvons un compromis entre le biais lié à la présence de l'aléa intrinsèque et la variance. Dans le contexte spécifique des modèles compartimentaux stochastiques en épidémiologie, nous caractérisons l'aléa intrinsèque associé aux processus stochastiques sur lesquels ces modèles sont basés. Ces processus stochastiques peuvent être Markoviens ou non-Markoviens. Pour les processus Markoviens, nous utilisons les algorithmes de Gillespie pour expliciter l'aléa intrinsèque et le séparer de l'aléa paramétrique. Et dans le cas des processus non-Markoviens, nous étendons à une classe large de modèles compartimentaux la construction de Sellke qui permettait à l'origine de décrire les dynamiques du modèle épidémiologique SIR dans un cadre non nécessairement Markovien. Cette extension a permis d'élaborer un algorithme de simulation permettant de générer des trajectoires exactes dans un cadre non-Markovien d'une large gamme de modèles compartimentaux mais aussi de pouvoir séparer l'aléa intrinsèque de l'aléa paramétrique dans la sortie de ces modèles. Ainsi, pour les deux types de processus, Markoviens et non-Markoviens, la séparation des deux sources d'aléas a été obtenue et elle permet d'écrire la sortie du modèle comme fonction déterministe des paramètres incertains et des variables représentant l'aléa intrinsèque. Lorsque l'incertitude sur les paramètres est supposée indépendante de l'aléa intrinsèque, cette représentation permet d'évaluer les contributions de l'aléa intrinsèque sur les sorties du modèle, en plus des contributions des paramètres. Il est également possible de caractériser les différentes interactions. Cette thèse a contribué à développer une approche d'estimation des indices de sensibilité et à évaluer la contribution de l'aléa intrinsèque dans les modèles compartimentaux en épidémiologie basés sur des processus stochastiques.

This thesis focuses on the sensitivity analysis of stochastic models. These models include uncertainties that originate mainly from two sources: the parametric uncertainty due to the lack of knowledge of parameters and the intrinsic randomness that represents the noise inherent to the model coming from the way chance intervenes in the description of the modeled phenomenon. The presence of intrinsic randomness is a challenge in sensitivity analysis because, on the one hand, it is generally hidden and therefore cannot be characterized and, on the other hand, it acts as noise when evaluating the impact of the parameters on the model output However, in epidemiology, the issues associated with the sensitivity of a model can be important in the control of epidemics because they impact the decisions made on the basis of this model. This thesis studies approaches for sensitivity analysis of stochastic models such as epidemiological models based on stochastic processes, in the framework of variance-based analysis. In a general context, we introduce a method for estimating sensitivity indices that optimizes the trade-off between the number of input parameter values of the model and the number of replications of model evaluation in each of these values. For this method, we consider the class of quantities of interest of stochastic model outputs that are in the form of conditional expectations with respect to uncertain parameters. In the context of estimation of sensitivity indices by the Monte Carlo method, we control the quadratic risk of the estimators, show its convergence and find a trade-off between the bias related to the presence of the intrinsic randomness and the variance. In the specific context of stochastic compartmental models in epidemiology, we characterize the intrinsic randomness of the stochastic processes on which these models are based. These stochastic processes can be Markovian or non-Markovian. For Markovian processes, we use Gillespie algorithms to make explicit the intrinsic randomness and to separate it from uncertain parameters. Regarding non-Markovian processes, we extend to a large class of compartmental models the Sellke construction, which was originally introduced to describe epidemic dynamics of the SIR model in a framework that is not necessarily Markovian. This extension has allowed us to develop an algorithm that generates exact trajectories in a non-Markovian framework for a large class of compartmental models but also to be able to separate intrinsic randomness from parameter uncertainty in the output of these models. Thus, for both types of processes, Markovian and non-Markovian, the separation of the two sources of uncertainty has been obtained and it allows to represent model outputs as a deterministic function of the uncertain parameters and the variables representing the intrinsic randomness. When the uncertainty on the parameters is assumed to be independent of the intrinsic randomness, this representation allows to assess the contributions of the intrinsic randomness on the model outputs, in addition to the contributions of the parameters. It is also possible to characterize different interactions. This thesis has contributed to develop an approach to estimate sensitivity indices and to evaluate the contribution of intrinsic randomness in compartmental models in epidemiology based on stochastic processes.