Quelques contributions à l'analyse statistique de données à structure de graphe

Contributions to statistical analysis of graph-structured data

• Auteur / Autrice : Etienne Lasalle
• Direction : Pascal Massart, Frédéric Chazal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/12/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Datashape - Understanding the shape of data
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Giraud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aurélie Fischer, Nicolas Verzelen, Kathryn Hess Bellwald, Sophie Donnet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Aurélie Fischer, Nicolas Verzelen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes aléatoires

Statistique mathématique

Théorie des graphes

Équation de la chaleur

Processus empiriques (mathématiques)

Mots clés libres

Graphes

Statistiques

Analyse topologique des données

Processus empiriques

Diffusion de la chaleur

Graphs

Statistics

Topological data analysis

Empirical processes

Heat diffusion

Résumé

Avec l'augmentation des capacités d'acquisition et de stockage de données, le développement de méthodes efficaces pour le traitement de données à structure de graphe est devenu un point crucial pour les sciences des données. Nous introduisons et étudions de nouvelles méthodes de comparaison de graphes basées sur la diffusion de la chaleur. La nouveauté de notre approche réside essentiellement dans l'introduction du concept de processus de distances. Il s'agit de la famille de toutes les distances calculées sur une plage de temps de diffusion pour une paire de graphes donnée. Cela nous permet de développer une analyse multi-échelles des graphes. De plus, en représentant les graphes via des outils issus de l'analyse topologique des données, nous sommes en mesure de comparer des graphes de tailles différentes ou non alignés. L'étude des propriétés statistiques de ces processus se fait par la théorie des processus empiriques. Nous prouvons un théorème central limite (TCL) fonctionnel, ainsi qu'un résultat d'approximation gaussienne nous permettant de montrer que la vitesse de convergence dans le TCL est indépendante de la taille des graphes. Ces résultats sont généraux et peuvent être appliqués à d'autres processus. De plus, ils garantissent la validité asymptotique de méthodes de ré-échantillonage pour la construction de bandes de confiance et de tests à deux échantillons permettant de comparer des populations de graphes. Nous étudions les performances de ces tests sur des jeux de données simulés et nous les appliquons au problème de la détection de changement de distribution dans le cadre de l'apprentissage par réseaux de neurones.

With the increase in data acquisition and storage capabilities, developing efficient methods for processing graph-structured data has become a crucial issue in data science. We introduce and study new methods based on heat diffusion to compare graphs. The novelty of our approach essentially lies in the introduction of the concept of distance processes, where we consider the family of all distances computed over a continuous range of diffusion times for a given pair of graphs. This allows us to develop a multi-scale analysis of graphs. Moreover, by representing graphs via tools borrowed from topological data analysis, we are able to compare graphs of different sizes or unaligned graphs. The statistical properties of these processes are studied with the theory of empirical processes. We prove a functional central limit theorem (CLT), as well as a Gaussian approximation result allowing us to show that the convergence rate in the CLT is independent of the graphs' sizes. These results are general and can be applied to other processes. Moreover, they guarantee the asymptotic validity of resampling methods for constructing confidence bands and two-sample tests comparing graph populations. We study the performance of these tests on simulated data sets and apply them to the problem of distribution shift detection in the context of neural network learning.