De la déformation au cône normal en géométrie d'Arakelov : une nouvelle preuve du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique

On the deformation to the normal cone in Arakelov geometry : a new proof of the arithmetic Hilbert-Samuel theorem

• Auteur / Autrice : Dorian Ni
• Direction : François Charles
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 10/11/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Ullmo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dennis Eriksson, Huayi Chen, Sébastien Boucksom, Catriona Maclean
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Dennis Eriksson, Huayi Chen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie des nombres

Géométrie algébrique arithmétique

Intersections, Théorie des

Arakelov, Théorie d'

Mots clés libres

Théorie de l'intersection arithmétique

Théorème de Hilbert-Samuel arithmétique

Déformation au cône normal

Géométrie d'Arakelov

Géométrie du tube

Arithmetic intersection theory

Arithmetic Hilbert-Samuel theorem

Deformation to the normal cone

Arakelov geometry

Tube geometry

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons au théorème de Hilbert-Samuel arithmétique. Ce théorème est issu de la théorie de l'intersection arithmétique. Il est l'analogue en géométrie d'Arakelov du théorème éponyme en géométrie algébrique. Nous montrons dans cette thèse qu'un principe fondamental de la théorie de l'intersection peut trouver son analogue en géométrie d'Arakelov. Il s'agit du principe de conservation des nombres d'intersection par déformation. En utilisant la théorie du tube analytique associé à un fibré hermitien, nous construisons une version arakelovienne de la déformation au cône normal. En particulier, cette construction décrit la déformation d'un fibré en droite hermitien au-dessus de la déformation au cône normal. En utilisant les structures topologiques canoniques sur les espaces totaux de sections, nous introduisons des invariants numériques appelés invariants de Hilbert arithmétiques et montrons la conservation de ces invariants le long de la déformation. Ceci nous permet en particulier d'obtenir une démonstration du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique n'utilisant que les réductions classiques de la théorie des faisceaux cohérents, le cas de l'espace projectif, et le principe de conservation du nombre.

In this thesis, we focus on the arithmetic Hilbert-Samuel. This theorem arises from arithmetic intersection theory. It is the Arakelov theoretic analogue of the eponymous theorem in algebraic geometry. In this thesis, we show that a fundamental principle of intersection theory, namely the conservation of number principle, holds an analogue in Arakelov geometry. By using the theory of the analytic tube associated to a Hermitian line bundle, we construct an Arakelov theoretic version of the deformation to the normal cone. In particular, it provides a deformation of a Hermitian line bundle over the deformation to the normal cone. By using the canonical topological structures on the total spaces of sections, we introduce numerical invariants, called arithmetic Hilbert invariants, and prove the conservation of this invariants through the deformation. This allows us to give a new proof of the arithmetic Hilbert-Samuel theorem, by only using classical reductions of the theory of coherents sheaves, the case of the projectif space and the conservation of number principle.