Convergence de méthodes numériques pour la mécanique des fluides : équation de Navier-Stokes stochastique et ses variantes
Convergence of numerical methods in fluid mechanics : The stochastic Navier-Stokes equation and its variants
Résumé
Although the development and evolution of numerical methods for the Navier-Stokes equations have been around for decades, they remain, until this day, an open topic for further research on account of their infamous properties: starting from the related theoretical complexity which arises from the mathematical solutions' chaotic behavior up to the associated implementation which requires a careful handling of algorithm constructions as well as efficient coding techniques permitting an optimal code compilation and execution time. The Navier-Stokes equations' stochastic versions have even worse properties regarding the applied random forcing and its restrictive effects that spread across the equations and affect their solutions eventually, often leading to loss of regularities, not to mention the significant amount of time that adds up to the code execution of the deterministic algorithm.This thesis proposes a few solutions to the aforementioned issues by turning the attention toward a variant of the Navier-Stokes equations; namely, the Lagrangian averaged Navier-Stokes (LANS-⍺ for short) equations which have better properties and are parametrized by a spatial scale denoted ⍺. Loosely speaking, when the parameter ⍺ tends to 0, one retrieves the Navier-Stokes equations. This property is conducted herein within a dedicated chapter to emphasize the theoretical aspect of solutions to the stochastic LANS-⍺ model when ⍺ vanishes. Therewith, by linking ⍺ to some discretization parameters that go to 0 eventually, a solution to the LANS-⍺ model becomes one to the Navier-Stokes equations. That being said, discretizing the Navier-Stokes problem amounts to discretizing the LANS-⍺ model, provided that ⍺ vanishes when passing to the limit in the proposed numerical method.Another considerable problem emerging from the incompressible Navier-Stokes equations, especially for numerical schemes, is the construction of divergence-free subspaces. These methods appear tricky at first glance since they permit the deletion of the pressure field from the variational formulation of the underlying equations and, therefore, the reduction of the degree of freedom number resulting in a well-behaved positive definite discrete system. However, dealing with their implementation can be tedious and may present some undesirable consequences, such as lousy condition numbers. This drawback can be circumvented through a variation (called penalty method or artificial compressibility) of the mass conservation equation, which involves the divergence-free constraint. This has the advantage of maintaining standard numerical methods that are extensively investigated, such as the finite element approximation, allowing for the already existing literature to be applied without any restrictions. The penalty method is comparable to the LANS-⍺ model since it contains a parameter denoted ε herein, which might be considered in terms of the discretization parameters in order to eliminate it from the equations of interest when passing to the limit.Speaking of the applied numerical methods within the framework of this thesis, the finite element method plays an essential role in the spatial discretization of both the stochastic LANS-⍺ model and the Navier-Stokes equations with artificial compressibility. The time discretization is provided by the Euler method, which may vary from one algorithm to another depending on the imposed assumptions. The proposed numerical schemes herein improve the convergence rate of already existing algorithms for the stochastic Navier-Stokes problem.
Bien que le développement et l'évolution des méthodes numériques pour les équations de Navier-Stokes existent depuis des décennies, elles restent, jusqu'à ce jour, un sujet ouvert pour de nouvelles recherches en raison de leurs propriétés imparfaites: allant de la complexité théorique, qui découle du comportement chaotique des solutions mathématiques, jusqu'à l'implémentation associée, qui nécessite une manipulation soigneuse d'algorithmes numériques ainsi que des techniques de codage efficaces permettant une compilation de code et un temps d'exécution optimaux. Les versions stochastiques des équations de Navier-Stokes ont un comportement plus complexe vis-à-vis du terme source aléatoire appliqué qui contraint les démonstrations techniques, car ses effets se propagent dans les équations et affectent éventuellement leurs solutions, entraînant souvent une perte de régularité, sans parler du temps considérable qui s'additionne à l'exécution des codes numériques déterministes.Cette thèse propose quelques solutions aux problèmes susmentionnés en tournant l'attention vers une variante des équations de Navier-Stokes; notamment, les équations de Navier-Stokes moyennées au sens de Lagrange (LANS-⍺ en abrégé) qui ont de meilleures propriétés et sont paramétrées par une échelle spatiale notée ⍺. Grosso modo, lorsque le paramètre ⍺ tend vers 0, on retrouve les équations de Navier-Stokes. Cette propriété est développée dans tout un chapitre pour détailler l'aspect théorique des solutions au modèle LANS-⍺ stochastique lorsque ⍺ s'annule. Ainsi, en liant ⍺ avec des paramètres de discrétisation qui finissent par atteindre 0, une solution du modèle LANS-⍺ converge vers une solution de Navier-Stokes. Par conséquent, discrétiser le problème de Navier-Stokes revient à discrétiser le modèle LANS-⍺, sous la condition que ⍺ s'annule en passant à la limite dans les petits paramètres de la méthode numérique proposée.Un autre problème considérable émergeant des équations incompressibles de Navier-Stokes, en particulier pour les schémas numériques, est la construction de sous-espaces à divergence nulle. Ces méthodes paraissent délicates à première vue puisqu'elles permettent de supprimer le champ de pression de la formulation variationnelle des équations sous-jacentes et, par conséquent, de réduire le nombre de degrés de liberté résultant en un système discret défini positif. Cependant, la gestion de leur mise en œuvre pourrait être fastidieuse et pourrait présenter des conséquences indésirables, telles que des conditionnements médiocres. Cet inconvénient peut être surmonté par une variation (appelée méthode de pénalisation ou compressibilité artificielle) de l'équation de conservation de la masse, qui implique la contrainte à divergence nulle. Cela a l'avantage de maintenir des méthodes numériques standards qui sont largement étudiées, telles que l'approximation par éléments finis, permettant d'appliquer la littérature déjà existante sans aucune restriction. La méthode de pénalisation est comparable au modèle LANS-⍺ puisqu'elle contient un paramètre noté ε dans ce contexte, qui pourrait être considéré en fonction des paramètres de discrétisation afin de l'éliminer des équations d'intérêt lors du passage à la limite.Concernant les méthodes numériques appliquées dans le cadre de cette thèse, la méthode des éléments finis joue un rôle essentiel dans la discrétisation spatiale du modèle stochastique LANS-⍺ et des équations de Navier-Stokes à compressibilité artificielle. La discrétisation temporelle est assurée par la méthode d'Euler, qui peut varier d'un algorithme à l'autre en fonction des hypothèses imposées. Les schémas numériques proposés ici améliorent la vitesse de convergence des algorithmes déjà existants pour le problème de Navier-Stokes stochastique.
Origine : Version validée par le jury (STAR)