Propriétés statistiques d'automorphismes quantiques du tore
Auteur / Autrice : | Nir Schwartz |
Direction : | Stéphane Nonnenmacher |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques fondamentales |
Date : | Soutenance le 20/10/2022 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) |
référent : Faculté des sciences d'Orsay | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Matthieu Léautaud |
Examinateurs / Examinatrices : Xiaolong Han, Gabriel Rivière, Pär Kurlberg | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Xiaolong Han, Gabriel Rivière |
Résumé
En Chaos quantique, nous étudions la connexion entre les systèmes chaotiques classiques et leurs homologues quantiques. Plus précisément, comment les propriétés ergodiques des premiers se reflètent dans le spectre des seconds (dans la limite semi-classique). Dans le présent travail, on considère un célèbre modèle jouet : on examine sur T² des automorphismes hyperboliques. On les quantifie en leurs associant une famille de N×N matrices unitaires, appelée "une application de chat quantique". On étudie les propriétés de délocalisation des états propres de ces applications chat quantiques dans la limite semi-classique N→∞. L'application de chat quantique est connue pour être quantique ergodique c'est-à-dire que la plupart des états propres sont asymptotiquement équidistribués. Notre application n'est pas ergodicité quantique unique, c'est-à-dire qu'il existe une suite {Nₖ}ₖ pour laquelle les matrices présentent de grandes dégénérescences spectrales et admettent des états propres partiellement localisés. Néanmoins, on montre que les états propres satisfont une propriété plus faible, délocalisation complète sur T² dans la limite semi-classique. La preuve de ce résultat repose sur le principe d'incertitude fractale de Bourgain et Dyatlov. On considère alors le long de la suite {Nₖ}ₖ des bases propres aléatoires. Nous montrons qu'ils satisfont presque sûrement l'ergodicité quantique unique jusqu'à une petite échelle. Enfin, on prend en considération les propriétés statistiques de ces vecteurs propres aléatoires. On montre qu'ils se comportent comme des vecteurs gaussiens standards dans ℂᴺ.