Statistical Properties of Quantized Toral Automorphisms

par Nir Schwartz

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Stéphane Nonnenmacher.

Le président du jury était Matthieu Léautaud.

Le jury était composé de Xiaolong Han, Gabriel Rivière, Pär Kurlberg.

Les rapporteurs étaient Xiaolong Han, Gabriel Rivière.

  • Titre traduit

    Propriétés statistiques d'automorphismes quantiques du tore


  • Résumé

    En Chaos quantique, nous étudions la connexion entre les systèmes chaotiques classiques et leurs homologues quantiques. Plus précisément, comment les propriétés ergodiques des premiers se reflètent dans le spectre des seconds (dans la limite semi-classique). Dans le présent travail, on considère un célèbre modèle jouet : on examine sur T² des automorphismes hyperboliques. On les quantifie en leurs associant une famille de N×N matrices unitaires, appelée "une application de chat quantique". On étudie les propriétés de délocalisation des états propres de ces applications chat quantiques dans la limite semi-classique N→∞. L'application de chat quantique est connue pour être quantique ergodique c'est-à-dire que la plupart des états propres sont asymptotiquement équidistribués. Notre application n'est pas ergodicité quantique unique, c'est-à-dire qu'il existe une suite {Nₖ}ₖ pour laquelle les matrices présentent de grandes dégénérescences spectrales et admettent des états propres partiellement localisés. Néanmoins, on montre que les états propres satisfont une propriété plus faible, délocalisation complète sur T² dans la limite semi-classique. La preuve de ce résultat repose sur le principe d'incertitude fractale de Bourgain et Dyatlov. On considère alors le long de la suite {Nₖ}ₖ des bases propres aléatoires. Nous montrons qu'ils satisfont presque sûrement l'ergodicité quantique unique jusqu'à une petite échelle. Enfin, on prend en considération les propriétés statistiques de ces vecteurs propres aléatoires. On montre qu'ils se comportent comme des vecteurs gaussiens standards dans ℂᴺ.


  • Résumé

    In Quantum chaos we study the connection between classical chaotic systems and their quantum counterparts. More specifically, how ergodic properties of the former are reflected in the spectrum of the latter (in the semiclassical limit). In the present work we consider a celebrated toy model: We consider on T² hyperbolic automorphisms. One quantizes these automorphisms by associating to each a family of N×N unitary matrices, called "a quantum cat map". We study the delocalization properties of the eigenstates of these quantum cat maps in the semiclassical limit N→∞. The quantum cat map is known to be quantum ergodic, i.e., most eigenstates asymptotically equidistribute. Our map is not quantum unique ergodic, i.e., there is a sequence {Nₖ}ₖ for which the matrices exhibit large spectral degeneracies and admit partially localized eigenstates. Nevertheless, we show that eigenstates satisfy a weaker property, full delocalization on T² in the semiclassical limit. The proof of this result relies on the fractal uncertainty principle of Bourgain and Dyatlov. We then consider along the sequence {Nₖ}ₖ random eigenbases. We show that almost surely they satisfy quantum unique ergodicity down to a small scale. Finally we consider the statistical properties of these random eigenvectors. We show they behave like standard Gaussian vectors in ℂᴺ.


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