Cobordisme algébrique des variétés sphériques

Algebraic cobodism of spherical varieties

• Auteur / Autrice : Henry July
• Direction : Nicolas Perrin, Jens Hornbostel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec Universität-Gesamthochschule (Wuppertal, Allemagne)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Matthias Wendt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Perrin, Jens Hornbostel, Marc Noel Levine, Amalendu Krishna, Dimitri Zvonkine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marc Noel Levine, Amalendu Krishna

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Cobordisme algébrique

Mots clés libres

Cobordisme algébrique

Variétés sphériques

Variétés toroidales

Variétés horosphériques

Algebraic cobordism

Spherical varieties

Toroidal varieties

Horospherical varieties

Résumé

Dans ce travail, nous étudions les anneaux de cobordisme algébrique équivariant pour l'action d'un tore T sur des variétés lisses sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Le cobordisme algébrique est la théorie cohomologique orientée universelle qui généralise les groupes de Chow et la K-théorie. En raison de son universalité, on a besoin de techniques plus sophistiquées pour décrire les anneaux de cobordisme algébrique en utilisant la loi de groupe formelle universelle.Cette thèse est divisée en cinq parties. Dans la première partie, nous rappelons la construction du cobordisme algébrique et définissons le cobordisme algébrique équivariant ainsi que les variétés horosphériques et sphériques qui sont les principaux objets d'intérêt tout au long de ce travail. Ces objets sont illustrés par la présentation de plusieurs calculs pertinents qui fournissent des outils nécessaires qui seront utilisés dans les chapitres suivants.Dans la deuxième partie, nous présentons l'état actuel des recherches aux calculs en cobordisme équivariant. De plus, nous prouvons une relation en cobordisme équivariant qui est essentielle dans la suite de ce travail. Nous prouvons aussi que la localisation aux points fixes de T reste valide pour un raffinement des coefficients. Enfin, pour un groupe algébrique réductif connexe G et un tore maximal T dans G, nous donnons une preuve d'une formule de Künneth en cobordisme T-équivariant pour des G-variétés projectives lisses X et Y si X imes Y a un nombre fini de points fixes de T par rapport à l'action diagonale. Les deux derniers résultats bien sûr impliquent des résultats similaires pour les groupes de Chow équivariants et la K-théorie équivariant. Le résultat sur le raffinement des coefficients est nouveau même pour les groupes de Chow.La troisième partie est consacrée au théorème principal de cette thèse. Dans un premier temps, nous passons en revue les techniques de preuve pour les calculs des groupes de Chow rationnels T-équivariants des G-variétés sphériques projectives lisses que nous étendons ensuite pour le cobordisme rationnel T-équivariant. En utilisant la relation de la deuxième partie, nous prouvons le théorème principal qui décrit les anneaux de cobordisme rationnels T-équivariants des G-variétés sphériques projectives lisses.Dans la quatrième partie, nous effectuons de nombreaux calculs qui illustrent le théorème principal de ce travail. Nous décrivons la géométrie des variétés horosphériques projectives lisses de nombre de Picard 1, y compris les grassmanniennes symplectiques impaires, et calculons leurs anneaux de cobordisme rationnels T-équivariants. De plus, nous étendons ces résultats à certaines variétés horosphériques projectives lisses de nombre de Picard 2. Ces résultats se spécialisent au cas des groupes de Chow rationnels T-équivariants et sont déjà nouveaux dans le cas des groupes de Chow.La dernière partie de ce travail fournit des calculs de classes de nature géométrique en cobordisme rationnel T-équivariant. Comme on peut déterminer la structure d'anneau de certaines variétés lisses T-filtrable en décrivant les générateurs du module de cobordisme rationnel T-équivariant et en localisant aux points fixes, on peut désormais multiplier ces classes géométriques dans l'anneau de cobordisme rationnel T-équivariant. Nous appliquons ces techniques au cas de la grassmannienne symplectique impaire IG(2,5) dans laquelle nous décrivons les générateurs du module de cobordisme rationnel T-équivariant de manière géométrique puis calculons leurs classes dans l'anneau de cobordisme rationnel T-équivariant. Comme ci-dessus, un résultat similaire pour les groupes de Chow rationnels T-équivariant peut être déduit du résultat précedent.

: In dieser Dissertation berechnen wir äquivariante Kobordismusringe fürdie Wirkung eines Torus T auf glatten Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenem Körper von Charakteristik null. Algebraischer Kobordismus ist die universelle orientierte Kohomologietheorie und verallgemeinert aufgrund dessen Chowgruppen und konnektive K-Theorie. Die Beschreibung von Kobordismusringen benötigt weitergehende Methoden, weil das universelle Gruppengesetzfür Berechnungen der Ringstrukturen verwendet werden muss.Diese Arbeit ist in fünf Kapitel gegliedert. Im ersten Kapitel wird die Konstruktion von algebraischem Kobordismus wiederholt und äquivarianter Kobordismus definiert.Des Weiteren werden sphärische und horosphärische Varietäten eingeführt, welche diewichtigsten Beispielklassen für die dargelegten Berechnungen darstellen. Diese Objektewerden anhand von einigen Beispielen am Ende des ersten Kapitels veranschaulicht.Im zweiten Kapitel wird der aktuelle Forschungsstand hinsichtlich der Berechnungenvon äquivariantem Kobordismus von Varietäten dargelegt. Weiterhin wird eine Relation inäquivariantem Kobordismus bewiesen, welcheim weiteren Verlauf der Arbeit mehrfach verwendet wird. Zudem wird ein Lokalisierungstheorem für einen verfeinerten Koeffizientenring formuliert und abschließend eine Künneth Formel für T-äquivarianten Kobordismus gezeigt, wobei T ein maximaler Torus ist.Die letzten beiden Resultate implizieren ähnliche Resultate für äquivariante Chowgruppenund äquivariante konnektive K-Theorie, wobei das verfeinerte Lokalisierungstheorem sogar ein neues Resultat für Chowgruppen darstellt.Das dritte Kapitel befasst sich mit demHauptsatz der vorliegenden Arbeit. Zuerst werden die Beweistechniken für dieBerechnungen von rationalen äquivariantenChowringen von glatten, projektiven undsphärischen Varietäten dargestellt, welche imLaufe des Kapitels für rationalen äquivarianten Kobordismus erweitert werden, um denHauptsatz zu beweisen. Hierbei ist die beschriebene Relation aus Kapitel zwei von besonderer Relevanz. Letztere ermöglicht dieBerechnung von rationalen T-äquivariantenKobordismusringen von glatten, projektivenund sphärischen Varietäten.Im vierten Kapitel werden unter Verwendung des Hauptsatzes zahlreiche explizite Rechnungen durchgeführt. Zunächst wirddie Geometrie von glatten, projektiven undhorosphärischen Varietäten von Picard-Rangeins analysiert, um danach deren rationale Täquivariante Kobordismusringe zu berechnen.Unter anderem werden diese Ringe für ungerade symplektische Grassmann-Varietätenberechnet und des Weiteren auch für einigeglatte, projektive und horosphärische Varietäten von Picard-Rang zwei. Wir erhalten dadurch auch neue Ergebnisse für rationale Täquivariante Chowringe von glatten, projektiven und horosphärischen Varietäten.Im letzten Kapitel der Arbeit werdendie Klassen der Erzeuger im rationalenT-äquivarianten Kobordismusring berechnet.Die Ringstruktur der rationalen T-äquivarianten Kobordismusringe kann beschriebenwerden, indem die Erzeuger des Moduls inder Algebra identifiziert werden. Dies erweitert den aktuellen Forschungsstand, da nunfür glatte und T-filtrierbare Varietäten dieKlassen der Erzeuger miteinander multipliziert werden können. Diese Theorie wird dannam Beispiel der ungeraden symplektischenGrassmann-Varietät IG(2, 5) angewendet, indem die Erzeuger des Moduls geometrisch beschrieben werden, was für die Berechnung derKlassen notwendig ist. Dadurch kann der rationale T-äquivariante Kobordismusring vonIG(2, 5) beschrieben werden, was erneut ähnliche Resultate für rationale T-äquivarianteChowringe liefert.

In this work, we study the equivariant algebraic cobordism rings for the action of a torus T on smooth varieties over an algebraically closed field of characteristic zero. Algebraic cobordism is the universal oriented cohomology theory which generalises Chow groups and connective K-theory. Due to its universality, one needs more sophisticated frameworks in order to describe the algebraic cobordism rings using the universal formal group law.This work is split into five main parts. In the first part, we recall the construction of algebraic cobordism and define equivariant algebraic cobordism as well as horospherical and spherical varieties which are the objects of main interest throughout this work. These objects are illustrated by presenting several relevant computations which provide the necessary tools being subsequently used in the following chapters.In the second part, the current state of research related to computations in equivariant cobordism is reviewed. Furthermore, we prove a relation in equivariant cobordism which will be essential in the sequel of this work. Additionally, we prove that the localisation at T-fixed points also holds for a refinement of coefficients. Lastly, for a connected reductive algebraic group G and a maximal torus T in G, we provide a proof of a Künneth formula in T-equivariant cobordism for smooth projective G-varieties X and Y if X imes Y has finitely many T-fixed points with respect to the diagonal action. The last two results of course imply similar statements for equivariant Chow groups and equivariant connective K-theory the first of which is a new result even for Chow groups.The third part is dedicated to the main theorem of this work. First, we review the proof techniques for the computations of rational T-equivariant Chow groups of smooth projective spherical G-varieties which we then adapt to rational equivariant cobordism making the necessary modifications. Using the relation from the second part, we can prove the structure theorem which describes the rational T-equivariant cobordism rings of smooth projective spherical G-varieties.In the fourth part, we provide a plethora of computations in order to apply the main theorem of this work. We describe the geometry of smooth projective horospherical varieties of Picard number one including the odd symplectic Grassmannians and compute their rational T-equivariant cobordism rings. Additionally, we extend these results to some specific smooth projective horospherical varieties of Picard number two. These results of course imply similar statements for e.g. rational T-equivariant Chow groups. Furthermore, the given computations were previously unknown even in the Chow group case.The last part of this work provides computations of classes in rational equivariant cobordism. To be more precise, we can determine the ring structure for certain smooth T-filtrable schemes by describing the generators of the rational equivariant cobordism module in the rational equivariant cobordism ring. This develops the state of research because we can now multiply certain classes inside the rational T-equivariant cobordism ring. This will then be applied to the example of the odd symplectic Grassmannian IG(2,5) in which we describe the generators of the rational T-equivariant cobordism module geometrically and then compute their classes in the rational T-equivariant cobordism ring. As above, similar results for rational T-equivariant Chow groups can be deduced from the previous result.