Sur quelques applications géométriques de la théorie spectrale des flots hyperboliques

On some geometrical applications of the spectral theory of hyperbolic flows

• Auteur / Autrice : Yann Chaubet
• Direction : Colin Guillarmou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 12/09/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Nonnenmacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Ledrappier, Gabriel Pedro Paternain, Viviane Baladi, Gerhard Knieper, Gabriel Rivière
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Ledrappier, Gabriel Pedro Paternain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Flots géodésiques

Systèmes dynamiques hyperboliques

Fonctions zêta

Analyse microlocale

Mots clés libres

Dynamique hyperbolique

Analyse microlocale

Fonctions zêta

Topologie

Géométrie

Hyperbolic dynamics

Microlocal analysis

Zeta functions

Topology

Geometry

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la distribution des orbites périodiques de certaines dynamiques hyperboliques, et le lien qu'elles entretiennent avec la topologie sous-jacente. Pour cela, nous introduisons certains fonctions zêta dynamiques que nous étudions via des techniques analytiques et micro-locales développées au cours des dernières décennies - la théorie des résonances de Ruelle. Nous appliquons ces méthodes à divers problèmes géométriques, comme le comptage de géodésiques fermées sous contraintes d'intersection, l'existence d'un lien entre les orbites périodiques des flots d'Anosov de contact et la torsion de Turaev, ou encore la distribution des résonances quantiques pour des systèmes de billards ouverts.

In dynamical systems, one of the main objects or quantities that have been studied are the periodic orbits and their periods. In this thesis we make use of certain dynamical zeta functions to study their distribution and their link with the underlying topology; these zeta functions are studied via recent analytic and micro-local techniques developed in the past decades. We give applications to various geometrical problems, such as counting closed geodesics under intersection constraints, the relation between periodic orbits of contact Anosov flows and the Turaev torsion, or the distribution of quantum resonances for open billiard systems.