Géométrie, dynamique et rigidité de groupes d'automorphismes de produits libres

Geometry, dynamics and rigidity of automorphism groups of free products

• Auteur / Autrice : Yassine Guerch
• Direction : Frédéric Paulin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 04/07/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : François Dahmani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilbert Levitt, Karen Vogtmann, Bruno Duchesne, Martin R. Bridson
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Gilbert Levitt, Karen Vogtmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Rigidité (géométrie)

Groupes, Théorie géométrique des

Actions de groupes (mathématiques)

Mots clés libres

Groupes

Théorie géométrique des groupes

Rigidité

Dynamique

Groups

Geometric group theory

Rigidity

Dynamics

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des résultats de rigidité de groupes d'automorphismes de certains groupes hyperboliques au sens de Gromov. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude du groupe Out(Wn) des automorphismes extérieurs d'un groupe de Coxeter universel de rang n, produit libre de n copies d'un groupe cyclique d'ordre 2. Nous montrons que tout isomorphisme entre sous-groupes d'indices fini de Out(Wn) est induit par une conjugaison globale par un élément de Out(Wn). Dans une deuxième partie, nous étudions le groupe Out(Fn) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre non abélien de rang n. Soit H un sous-groupe de Out(Fn). Nous étudions l'existence d'éléments génériques dans H au sens suivant. Un élément f de H est dit générique si, pour toute classe de conjugaison c d'éléments de Fn, nous avons la propriété suivante : il existe un polynôme P à coefficients dans ℝ tel que la longueur de fⁿ(c) est équivalente à P(n) si, et seulement si, pour pour tout élément h de H, il existe un polynôme Qh à coefficients dans ℝ tel que la longueur de hⁿ(c) est équivalente à Qh(n).

In this thesis we study rigidity properties of automorphism groups of some Gromov hyperbolic groups. In the first part of the thesis, the main group of interest is the group Out(Wn) of outer automorphisms of a universal Coxeter group of rank n, which is the free product of n copies of a cyclic group of order 2. We prove that every isomorphism between finite index subgroups of Out(Wn) is induced by a global conjugation by an element of Out(Wn). In the second part of the thesis, we study the group Out(Fn) of outer automorphisms of a nonabelian free group of rank n. Let H be a subgroup of Out(Fn). We study the existence of generic elements of H in the following sense. We say that an element f of H is generic if, for every conjugacy class c of elements of Fn, we have the following property: there exists a polynomial P with coefficients in ℝ such that the length of fⁿ(c) is equivalent to P(n) if and only if for every element h of H, there exists a polynomial Qh with coefficients in ℝ such that the length of hⁿ(c) is equivalent to Qh(n).