Stationnarité bidimensionnelle de modèles aléatoires du plan

Bidimensional stationarity of random models in the plane

• Auteur / Autrice : Alexandre Boyer
• Direction : Arvind Singh, Nathanaël Enriquez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/07/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Le Gall
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Irène Marcovici, Quentin Berger, Jean-Baptiste Gouéré, Nicolas Curien
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Irène Marcovici, Quentin Berger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Processus stationnaires

Mots clés libres

Réversibilité markovienne

Percolation de dernier passage

Processus de Hammersley

Plus longues sous-Suites croissantes

Markov reversibility

Last passage percolation

Hammersley's process

Longest increasing subsequences

Résumé

Dans le cadre de cette thèse,trois modèles ont été étudiés indépendamment. Ils ont en commun d’être des modèles aléatoires définis dans le plan et possédant une propriété de stationnarité bidimensionnelle. Le premier est le modèle de Hammersley stationnaire dans le quart de plan, introduit et étudié par Cator et Groeneboom.Nous présentons ici une preuve probabiliste des fluctuations gaussiennes dans le cas non critique. Le deuxième modèle peut être vu comme une version stationnaire du problème d’O’Connell-Yor. La preuve de sa stationnarité est obtenue en introduisant une discrétisation de ce modèle dont nous montrons la stationnarité, puis en observant que cette stationnarité est préservée à la limite. Enfin,le troisième modèle est une classe généralede systèmes aléatoires de lignes brisées dansle quart de plan, dont on montre la réversibilité. Cette classe contient de nombreux processus classiques comme des modèles de percolation de dernier passage. La nouveauté ici est qu’un poids est associé à chaque ligne.

In this PhD thesis, three models have been independently studied. They all have in common to be random models defined in the plane and having a two-dimensional stationarity property. The first one is Hammersley’s stationary model in the quarter plane, introduced and studied by Cator and Groeneboom. We present here a probablistic proof the Gaussian fluctuations in the non-critical case. The second model can be seen as a stationary modification ofO’Connell-Yor’s problem. The proof of its stationarity is obtained by introducing a discretisation of this model, by proving its stationairty and then by observing that this stationarity is preserved in the limit. Finally, the third model is a general class of random systems of horizontal and vertical weighted broken lines on the quarter plane whose distribution are proved to be reversible. This class of systems generalizes several classical processes of the same kind. The noveltycomes here from the introduction of a weight associated with each line.