Géométrie aléatoire et énergie libre de modèles critiques sur réseau planaire

Random geometry and free energy of critical planar lattice models

• Auteur / Autrice : Mendes Oulamara
• Direction : Hugo Duminil-Copin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 09/06/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Alexander Grothendieck (Bures-sur-Yvette, Essonne ; 2015-....)
• Jury : Président / Présidente : Geoffrey R. Grimmett
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ron Peled, Vincent Beffara, Nicolas Curien, Christophe Garban
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ron Peled, Vincent Beffara

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes aléatoires

Probabilités

Percolation (physique statistique)

Mots clés libres

Percolation

Universalité

Modèle Six-Vertex

Incipient Infinite Cluster

Percolation

Universality

Six-Vertex model

Incipient Infinite Cluster

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux conséquences de l'expression de l'énergie libre du modèle six-vertex sur deux modèles planaires, la percolation de Fortuin-Kasteleyn (FK) et la fonction de hauteur du modèle six-vertex. Nous prouvons l'invariance par rotation macroscopique de la percolation FK critique sur le réseau carré pour q ε [1,4]. Pour cela, nous prouvons l'universalité de ce modèle sur les graphes isoradiaux rectangulaires. L'Incipient Infinite Cluster nous permet alors l'étude locale de la géométrie des composantes connexes macroscopiques. Nous démontrons ensuite la délocalisation logarithmique de la fonction de hauteur du modèle six-vertex pour a = b = 1 et 1 ≤ c ≤ 2. Pour cela, nous construisons une théorie de Russo-Seymmour-Welsh pour ses ensembles de niveau. Dans une section bibliographique, nous exposons le formalisme de lignes de rapidité des graphes isoradiaux et les équations q-Knizhnik-Zamolodchikov.

In this thesis, we study the consequences of the expression of the six-vertex model free energy on two planar models, the random cluster model (or Fortuin-Kasteleyn (FK) percolation) and the six-vertex height function. We prove the macroscopic rotational invariance of the critical random cluster model on the square lattice for q ε [1,4]. As an intermediary result, we prove the universality of the model on isoradial rectangular lattices. We use the Incipient Infinite Cluster to study the local geometry of the macroscopic clusters. We prove the logarithmic delocalization of the six-vertex height function with a = b = 1 and 1 ≤ c ≤ 2. To do so, we construct a Russo-Seymmour-Welsh theory for the levelsets. In a bibliographical section, we expose the rapidity line formalism of isoradial graphs and the q-deformed Knizhnik-Zamolodchikov equations.