Décompositions des mots tassés et auto-dualité de l'algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots

Decompositions of packed words and self duality of Word Quasisymmetric Functions

• Auteur / Autrice : Hugo Mlodecki
• Direction : Florent Hivert, Viviane Pons
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Informatique
• Date : Soutenance le 08/12/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire interdisciplinaire des sciences du numérique (Orsay, Essonne ; 2021-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Boldo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marcelo Aguiar, Loïc Foissy, Jean-Christophe Aval, Nantel Bergeron, Bérénice Delcroix-Oger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marcelo Aguiar, Loïc Foissy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ensembles partiellement ordonnés

Combinatoire algébrique

Hopf, Algèbres de

Mots clés libres

Algèbres de Hopf bidendriformes

Mots tassés

Éléments primitifs

Éléments totalement primitifs

Ordres partiels

Bidendriform Hopf algebras

Packed words

Primitive elements

Totally primitive elements

Partial orders

Résumé

Ce travail est fondé sur la théorie des bigèbres bidendriformes, développée par Foissy, qui sont des algèbres de Hopf particulières où le produit et le coproduit peuvent être scindés en deux. Son théorème principal est: Une bigèbre bidendriforme est générée librement par ``l'espace des éléments totalement primitifs'' en tant qu'algèbre dendriforme. Une conséquence est l'auto-dualité des bigèbres bidendriformes.Parmi les nombreuses algèbres de Hopf, Hivert a défini l'algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots, notée WQSym. En prouvant que WQSym est une bigèbre bidendriforme, Novelli-Thibon résolvent la conjecture de Duchamp-Hivert-Thibon sur l'auto-dualité de WQSym. Cependant, comme aucune construction générale de l'ensemble des totalement primitifs n'est formulée, nous n'avons pas d'auto-morphisme explicite pour le passage de la primale à la duale.La question centrale de cette thèse est donc de construire un isomorphisme bidendriforme entre WQSym et sa duale. Cette construction passe par la décomposition des mots tassés à l'aide de deux nouvelles opérations que nous avons définies. En outre, pour illustrer ces décompositions, nous avons créé une nouvelle famille d'objets combinatoires: les forêts d'arbres biplans. Certains sous-ensembles de mots tassés ne peuvent être décomposés par ces opérations. Nous avons prouvé que leurs séries génératrices sont égales aux dimensions de l'espace des éléments totalement primitifs. L'intérêt des forêts biplanes est de faire apparaître visuellement les sous-ensembles de mots tassés indécomposables.Ces forêts biplanes sont donc la forme idéale pour indexer des nouvelles bases, que nous avons créées, de l'algèbre WQSym et sa duale. En effet, il est aisé d'en extraire un sous-ensemble qui définit deux bases des espaces totalement primitifs de WQSym et sa duale. Enfin, des arbres biplans bicolores permettent d'obtenir un isomorphisme bidendriforme par un simple échange de couleurs, ce qui répond à notre question initiale et constitue le résultat principal de cette thèse.Après l'obtention de ce résultat, nous nous intéressons aux relations entre les opérations évoquées. Nous remarquons alors fortuitement que ces opérations vérifient des relations semblables à des opérades bien connues (dupliciale déformée, L-algèbre, bigraft) mais qui sont a priori sans lien avec l'opérade dendriforme. Nous prouvons que l'ensemble des mots tassés munis de ces opérations décrit une algèbre sur ces opérades et en donnons des sous-ensembles de générateurs.L'algèbre PQSym, indexée par les fonctions de parking, est très similaire à WQSym, mais aussi plus complexe et serait un premier pas vers la généralisation de notre résultat principal. La question de généraliser ce résultat aux fonctions de parking relève à la fois de la combinatoire et de l'algèbre. Nous présentons ce qui est sans doute le premier ingrédient de cette généralisation. Il s'agit du calcul d'un changement de base où le produit de mélange des valeurs est sans chevauchement.Nous terminons cette thèse par une partie expliquant notre démarche expérimentale de recherche utilisant SageMath. Nous décrivons les tutoriels que nous avons conçus sous la forme de notebooks et mis en ligne à disposition des autres chercheurs. Nous y présentons le code qui permet de vérifier tous nos résultats sur des exemples calculés par des algorithmes.

This work is founded on the theory of bidendriform bialgebras, developped by Foissy, which are particular Hopf algebras where the product and the coproduct can be split into two parts. His main theorem is: A bidendriform bialgebra is freely generated by ``the space of totally primitive elements'' as a dendriform algebra. A consequence of this is the self-duality of bidendriform bialgebras.Among the many Hopf algebras, Hivert defined the algebra of word quasi-symmetric functions, denoted WQSym. By proving that WQSym is a bidendriform bialgebra, Novelli-Thibon solved the Duchamp-Hivert-Thibon conjecture on the self-duality of WQSym. However, since no general construction of the set of totally primitive was formulated, we do not have an explicit isomorphism between the primal and the dual.The central question of this thesis is the construction of a bidendriform isomorphism between WQSym and its dual. This construction goes through a decomposition of packed words using two new operations that we havedefined. Furthermore, to illustrate these decompositions, we have created a new family of combinatorial objects: forests of biplane trees. Some subsets of packed words cannot be decomposed by these operations. We proved that their generating series are equal to the dimensions of the space of the totally primitive elements. The interest of biplane forests is to visually reveal the subsets of indecomposable packed words.These biplane forests are therefore the ideal form for indexing the new bases, that we have created, of the algebra WQSym and its dual. In fact, it is easy to extract from them a subset which defines two bases of totally primitives spaces of WQSym and its dual. Finally, bicolored biplane trees allow us to obtain a bidendriform isomorphism by a simple exchange of colors, which answers our initial question and constitutes the main result of this thesis.After obtaining this result, we study the relationships between the aforementioned operations. We then remark fortuitously that these operations verify relations similar to well-known operads (skew-duplicial, L-algebra,bigraft) but which are unrelated to the dendriform operad. We prove that the set of packed words endowed with these operations describes an algebra over these operads and give subsets of generators.The PQSym algebra, indexed by parking functions, is very similar to WQSym, but also more complex and would be a first step towards a generalization of our main result. The question of generalizing this result to parking functions is both combinatorics and algebra. We present what is undoubtedly the first ingredient of this generalization. This is the calculation of a change of bases where the shuffle product on values is not overlapped.We end this thesis with a part explaining our experimental approach of research using SageMath. We describe the tutorials that we have designed in the form of notebooks and made available online for other researchers. We present the code that allows to check all our results on examples calculated by algorithms.