Géométrie de Cartan généralisée et théorie des champs

Field theory and generalised Cartan geometry

• Auteur / Autrice : Jérémie Pierard de Maujouy
• Direction : Frédéric Hélein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : François Gières
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Gières, Camille Laurent-Gengoux, Luca Vitagliano, Tilman Wurzbacher, Claire Debord, Narciso Román-Roy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Camille Laurent-Gengoux, Luca Vitagliano

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie

Cartan, Élie (1869-1951)

Lie, Algèbres de

Einstein, Équations du champ d'

Mots clés libres

Géométrie de Cartan généralisée

Gravitation d'Einstein-Cartan

Action d'algèbres de Lie

Generalised Cartan geometry

Einstein-Cartan gravitation

Action of Lie algebra

Résumé

Nous présentons la géométrie de Cartan généralisée qui est une structure géométrique localement isomorphe au fibré principal associé à une géométrie de Cartan sur une variété différentiable et proposons de formuler les théories de champs dans le cadre de la géométrie de Cartan généralisée. Nous proposons une interprétation du modèle de Hélein-Vey pour la gravitation d'Einstein-Cartan comme une géométrie de Cartan généralisée résultant d'équations variationnelles (et vérifiant des équations de champs physiques) et abordons le modèle depuis une perspective géométrique originale. Nous expliquons notamment le "mécanisme d'annulation" crucial pour le modèle comme une propriété de certains composantes des équations d'Euler-Lagrange. Cette approche nous permet d'élargir la théorie afin de coupler des spineurs de Dirac à l'espace-temps d'Hélein-Vey-Einstein-Cartan modélisé par une géométrie de Cartan généralisée. Les solutions satisfont les équations d'Einstein-Cartan-Dirac sur un espace-temps sous-jacent qui peut être une variété différentielle mais peut également présenter des singularités, par exemple de type orbifold. Nous étudions également la question de savoir si une géométrie de Cartan généralisée correspond à une géométrie de Cartan au sens standard et par cela corrigeons une omission dans le traitement d'Hélein et Vey de leur modèle. Il s'agit de l'occasion de fournir un nouveau traitement à la question de l'intégration de l'action d'une algèbre de Lie en une action de groupe. Nous abordons également le problème de la structure différentielle de l'espace quotient et de savoir si l'application quotient définit un fibré principal. Nous définissons le "groupoïde de pseudo-action locale" qui est un groupoïde de Lie encodant toute la structure globale associée à une action d'algèbre de Lie sur une variété différentielle et établissons un résultat d'équivalence avec la construction de la complétion telle que définie par Kamber et Michor.

We introduce generalised Cartan geometry as a geometrical structure which is locally isomorphic to the principal bundle associated with a Cartan geometry on a manifold and make the proposal to formulate general field theories in the framework of generalised Cartan geometry. We give an interpretation of Hélein-Vey's model for Einstein-Cartan gravitation [HV16] as a dynamically generated generalised Cartan geometry (which furthermore satisfies physical field equations) and give a new geometrical perspective of the underlying mechanisms of the model. In particular, we explain the crucial "cancellation mechanism" as a property of suitable components of the Euler-Lagrange equation. This allows us to formulate a extension of the theory which couples Dirac spinors to the spacetime geometry modelled as a generalised Cartan geometry. The solutions satisfy Einstein-Cartan-Dirac equations on an underlying spacetime which can be a smooth manifold but may also present singularities, for example of orbifold type. We study in which case a generalised Cartan geometry comes from a honest Cartan geometry and thereby fix an omission in the original treatment of Hélein and Vey. This is the occasion to give a new treatment to the question of integrating the action of a Lie algebra into a Lie group action. We also investigate when the quotient space is a smooth manifold and the quotient map defines a principal bundle. We define the so-called "local pseudo-action groupoid" which is a Lie groupoid encoding all the global structure associated to the action of a Lie algebra on a smooth manifold, and prove a result of equivalence with the completion construction such as defined by Kamber and Michor.