Les modèles cubiques sont colibrement paramétriques

Cubical models are cofreely parametric

• Auteur / Autrice : Hugo Moeneclaey
• Direction : Hugo Herbelin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 21/10/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Muriel Livernet, Thorsten Altenkirch, Steve Awodey, Peter Dybjer, Eric Finster, Patricia Johann, Ambrus Kaposi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thorsten Altenkirch, Steve Awodey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique informatique

Modèles paramétriques (statistique)

Théorie des types

Mots clés libres

Théorie des types dépendants

Paramétricité

Modèles cubiques de la théorie des types

Objets colibres

Dependent type theory

Parametricity

Cubical models for type theory

Cofree objects

Résumé

Un modèle paramétrique de la théorie des types est défini comme un modèle où chaque type est muni d’une relation, et les termes respectent ces relations. Intuitivement, cela veut dire que les termes traitent leurs entrées uniformément. Ces dernières années, de nombreux modèles cubiques de la théorie des types ont été proposés, souvent conçus pour valider une variante de paramétricité. Dans cette thèse, on explique ce phénomène en prouvant que les modèles cubiques sont colibrement paramétriques. Pour cela on définit les notions de paramétricité et leurs modèles paramétriques associés. On prouve ensuite que les modèles colibrement paramétriques existent, puis on donne des exemples de modèles cubiques qui sont colibrement paramétriques. Dans le chapitre 1, on définit la paramétricité standard pour les catégories et les clans. On donne ensuite des exemples de modèles paramétriques inspirés par la théorie de l’homotopie. On présente informellement les variantes de paramétricité qui seront formalisées dans les chapitres suivants. La paramétricité interne est l’une de ces variantes particulièrement notable, où chaque type est muni d’une relation réflexive. Dans le chapitre 2, on donne une axiomatisation de cette situation inspirée par l’approche originelle de la paramétricité, c’est-à-dire inspirée du fait que l’on peut prouver le modèle initial paramétrique par induction. Plus précisément, on définit une extension par section d’une théorie comme une extension par des opérations unaires définies inductivement. On utilise pour cela la théorie des signatures pour les types inductifs-inductifs quotients. Les extensions de la théorie des catégories, des clans ou des catégories avec famille par la paramétricité standard sont des exemples importants d’extensions par section. On prouve ensuite que les foncteurs d’oubli provenant de telles extensions ont des adjoints à droite, et donc que les modèles colibrement paramétriques existent. On explique comment étendre la paramétricité standard aux types de fonctions ainsi qu’aux univers. Dans le chapitre 3, on donne une axiomatisation alternative de la paramétricité, qui permet une description très compacte des modèles colibrement paramétriques. On postule d’abord une catégorie symétrique monoïdale fermée V de modèles de la théorie des types. On définit alors une notion de paramétricité comme un monoïde dans V, et un modèle paramétrique comme un module. On peut donc définir les modèles colibrement (et librement) paramétriques comme des modules coinduits (et induits). On prouve ensuite que des variantes strictes de la catégorie des catégories exactes à gauche et de la catégorie des clans sont symétriques monoïdales fermées. On prouve finalement que les catégories exactes à gauche d’objets cubiques tronqués, ainsi que les clans d’objets cubiques fibrant au sens de Reedy, sont colibrement paramétriques pour des notions de paramétricité appropriées.

A parametric model of type theory is defined as a model where any type comes with a relation and any term respects these. Intuitively, this means that terms treat their inputs uniformly. In recent years many cubical models of type theory have been proposed, often built to support some form of parametricity. In this thesis, we explain this phenomena by defending that cubical models of type theory are cofreely parametric. To do this, we define notions of parametricity and their associated parametric models, then we prove that cofreely parametric models exist, and finally we give examples of cubical models which are indeed cofreely parametric. In Chapter 1, we define the standard parametricity in details for categories and clans, with homotopically-flavored examples of parametric models. Then we give an informal survey of variants of parametricity, giving us ample potential applications for the next chapters. An important variant is internal parametricity where any type comes with a reflexive relation. In Chapter 2, we axiomatize the situation by going back to the historical approach to parametricity, namely that it is inductively proven for the initial model. So an extension by section of a theory is defined as an extension by inductively defined unary operations. This is made precise using signatures for quotient inductive-inductive types. The extensions of the theory of categories, clans and categories with families by the standard parametricity are all key examples of extensions by section. We prove that the forgetful functors coming from such extensions have right adjoints, so that cofreely parametric models exist. We also explain how to extend the standard parametricity to arrow types and universes. In Chapter 3 we give an alternative axiomatization of parametricity, that manages to give a very compact description for cofreely parametric models when applicable. We work with a symmetric monoidal closed category V of models of type theory. We define a notion of parametricity as a monoid in V, and a parametric model as a module. Then we build cofreely (and freely) parametric models as coinduced (and induced) modules. We prove that strict variants of both the category of left exact categories and the category of clans are symmetric monoidal closed. Then we prove that both the lex categories of n-truncated cubical objects and the clans of Reedy fibrant cubical objects are cofreely parametric models for suitable notions of parametricity.