Cycles et chemins dans les digraphes, idéaux monomiaux et partitions des nombres entiers

Cycles and paths in digraphs, monomial ideals and integer partitions

• Auteur / Autrice : Zahraa Mohsen
• Direction : Hussein Mourtada, Amine El Sahili
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Durand
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hussein Mourtada, Amine El Sahili, Arnaud Durand, Abdallah Assi, Ebrahim Ghorbani, Maidoun Mortada, Pedro Daniel González Pérez, Evelia García Barroso
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Abdallah Assi, Ebrahim Ghorbani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Partitions (mathématiques)

Identités de Rogers-Ramanujan

Nombre chromatique

Théorie des graphes

Mots clés libres

Cycle orienté

Chemin orienté

Digraphe fort

Nombre chromatique

Identités de Rogers-Ramanujan

Partitions entières

Partitions voisines

Idéaux monomiaux

Graphes simples

Séries de Hilbert

Oriented cycle

Oriented path

Strong Digraph

Chromatic number

Rogers-Ramanujan identities

Integer partitions

Neighborly partitions

Monomial ideals

Simple graphs

Hilbert series

Résumé

Dans cette thèse, nous travaillons dans deux directions, toutes deux concernent des problèmes de combinatoire. La première direction est liée à l'étude d'un invariant important des graphes orientés qui est le nombre chromatique. Plus précisément, nous nous intéressons à l'étude de l'existence de certains chemins et cycles orientés dans les digraphes à nombres chromatiques bornés. La deuxième direction concerne l'étude des identités des partitions des nombres entiers à l'aide d'outils algébriques et combinatoires. Deux identités de partitions parmi les plus célèbres ont été trouvées par Rogers et Ramanujan ; nous prouvons des identités duales à celles de Rogers-Ramanujan. Ces nouvelles identités s'inspirent d'une correspondance entre trois types d'objets : un nouveau type de partitions, les idéaux monomiaux et certains graphes infinis. Dans cette direction, nous étudions également une famille d'idéaux en lien avec les espaces de jets du point double Spec K[x]/x^2 et déterminons les séries génératrices d'un certain type de partitions qui seraient en lien avec une version finie des identités Rogers-Ramanujan

In this thesis, we work in two directions, both concern problems in combinatorics. The first direction is related to the study of an important invariant of oriented graphs which is the chromatic number. More precisely, we are interested in the study of the existence of special oriented paths or cycles in digraphs with bounded chromatic numbers. The second direction concerns the study of identities of integer partitions using algebraic and combinatorial tools. Two of the most famous identities of integer partitions were found by Rogers and Ramanujan. We prove two new partition identities which are dual to those of Rogers-Ramanujan. These new identities are inspired by a correspondence between three kinds of objects: neighborly partitions, monomial ideals, and some infinite graphs. In this direction, we also study a family of ideals related to the jet schemes of the double point Spec K[x]/x^2 and conclude some results concerning the generating series of some special type of integer partitions