Convergence en loi de l'erreur dans le problème des points d'un réseau

Convergence in distribution of the error term in the lattice point problem

• Auteur / Autrice : Julien Trevisan
• Direction : Bassam Fayad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Valérie Berthé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Valérie Berthé, Dmitry Kleinbock, Yann Bugeaud, Sébastien Gouëzel, Dmitry Dolgopyat, Jean-François Quint
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dmitry Kleinbock, Yann Bugeaud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Analyse harmonique (mathématiques)

Espaces homogènes

Dynamique

Géométrie des nombres

Mots clés libres

Géométrie des nombres

Dynamique

Espace homogène

Analyse harmonique

Probabilités

Geometry of numbers

Dynamics

Homogeneous space

Harmonic analysis

Probability

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème général suivant. Soit L un réseau unimodulaire de R^{d}. Soit S un ensemble mesurable de volume fini. Quel est le nombre N(S,L) de points qui appartiennent à la fois à L et à S ? Lorsque S est suffisamment régulier, on peut montrer que ce nombre N(S,L) est approchée par vol(S) à une erreur R(S,L) près. Le but de cette thèse est d'avoir une idée plus précise du comportement de l'erreur R(S,L) dans différentes situations. Après avoir introduit le problème dans le chapitre 1, dans le chapitre 2 nous montrons que lorsque l'on prend pour S un parallélogramme P et lorsque l'on prend L unimodulaire et aléatoire, ainsi que X un vecteur de R^{2} aléatoire, on montre que R(t P +X,L)/\log(t) converge en loi, quand t tend vers l'infini, vers une loi de Cauchy centré. Dans le chapitre 3, lorsque l'on prend pour S une ellipse E centrée en 0 et lorsque l'on prend L unimodulaire et aléatoire, on montre que R(tE,L)/sqrt(t) converge en loi, quand t tend vers l'infini, vers une loi non triviale que l'on explicite et dont on étudie la finitude des moments. Dans le chapitre 4, on généralise le résultat précédent en prenant cette fois pour S un corps strictement convexe analytique C et en considérant, non plus t C, mais t C + X avec X un vecteur de R^{2} fixé. Dans les chapitres précédents, on a suivi une approche qui s'inspire de celle de Kesten en prenant L aléatoire. Dans les deux derniers chapitres, on prend t aléatoire et c'est une approche qui s'inspire de celle de Bleher. Plus précisément, dans le chapitre 5, on prend pour S un rectangle P de centre 0 dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Puis on montre que, après moyennisation en X de l'erreur R(tP+X,L) au carré, correctement normalisée, que celle-ci converge en loi lorsque t est aléatoire et devient grand dans différents cas : lorsque le réseau L est admissible au sens de Skriganov ou typique. D'ailleurs, dans le cas typique, la normalisation, proche, d'une certaine manière, de log(t), est plus forte que dans le cas admissible, ce qui est attendu. Enfin, dans le chapitre 6, on généralise un résultat qui avait aussi été obtenu dans le chapitre 5. Plus exactement, on montre que lorsque l'on prend un hypercube C de centre 0 dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées et de longueur 2, R(t C + X, Z^{d})/t^{d-1} converge en loi vers une loi non triviale lorsque t est aléatoire et devient grand dans deux cas : lorsque X, vecteur de R^{d}, s'écrit X=(x,\cdots,x) et lorsque X s'écrit X=(x_{1},..., x_{d}) avec x_{1},...,x_{d} étant indépendants entre eux et de t et étant distribuées selon une loi uniforme sur [-1/2, 1/2].

In this thesis, we are interested in the following general problem. Let L be a unimodular lattice of R^{d}. Let S be a measurable set of finite volume. What is the number N(S,L) of points that belong to both L and S? When S is sufficiently regular, it can be shown that this number N(S,L) is approximated by vol(S) to within an error R(S,L). The aim of this thesis is to get a better idea of the behaviour of the error R(S,L) in different situations. After introducing the problem in Chapter 1, in Chapter 2 we show that when we take for S a parallelogram P and when we take L unimodular and random, as well as X a vector of R^{2} random, we show that R(t P +X,L)/log(t) converges in distribution, when t tends to infinity, to a centered Cauchy distribution. In Chapter 3, when we take for S an ellipse E centred in 0 and when we take L unimodular and random, we show that R(tE,L)/sqrt(t) converges in distribution, when t tends to infinity, to a non-trivial distribution which we explicit and we study the finiteness of the moments of this last distribution. In Chapter 4, we generalize the previous result by taking this time for S a strictly convex analytic body C and by considering, not t C, but t C + X with X a fixed vector of R^{2}. In the previous chapters, we followed an approach inspired by that of Kesten by taking L random. In the last two chapters, we take t random and it is an approach inspired by Bleher's. More precisely, in chapter 5, we take for S a rectangle P of centre 0 whose sides are parallel to the coordinate axes. Then we show that, after averaging in X the error R(tP+X,L) squared, correctly normalised, that it converges in distribution towards a positive constant when t is random and becomes large in different cases: when the lattice L is admissible in the sense of Skriganov or typical. Moreover, in the typical case, the normalisation, close in some way to log(t), is stronger than in the admissible case, which is expected. Finally, in Chapter 6, we generalise a result that was also obtained in Chapter 5. More precisely, we show that when we take a hypercube C of centre 0 whose sides are parallel to the coordinate axes and of length 2, R(t C + X, Z^{d})/t^{d-1} converges to a non-trivial distribution when t is random and becomes large in two different cases: when X, a vector of R^{d}, is written as X=(x,\cdots,x) and when X is written as X=(x_{1},. ..., x_{d}) with x_{1},...,x_{d} being independent of each other and of t and being distributed according to a uniform distribution on [-1/2, 1/2].