Coloration circulaire, flot circulaire et homomorphisme des graphes signés

Circular coloring, circular flow, and homomorphism of signed graphs

• Auteur / Autrice : Zhouningxin Wang
• Direction : Réza Naserasr
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 24/05/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Claire Mathieu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Mathieu, Zdeněk Dvořàk, Edita Mácajová, Penny Haxell, Bojan Mohar, Xuding Zhu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Zdeněk Dvořàk, Edita Mácajová

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problème des quatre couleurs

Flots (théorie des graphes)

Coloriage de graphes

Homomorphismes (mathématiques)

Mots clés libres

Graphe signé

Homomorphisme

Coloration circulaire

Flot circulaire

Théorème des 4 couleurs

Signed graph

Homomorphism

Circular coloring

Circular flow

The 4-color theorem

Résumé

Un graphe signé est un graphe G accompagné d’une fonction sigma : E(G) -> {+,-}. La coloration et l’homomorphisme des graphes sont deux des problèmes au cœur de la théorie des graphes, et ces notions et problèmes peuvent être naturellement étendus aux graphes signés. Dans cette thèse, nous introduisons deux notions duales: la coloration circulaire des graphes signés et le flot circulaire dans les graphes signés mono-orientés. Nous explorons les paramètres correspondants: le nombre chromatique circulaire et l’indice de flot circulaire sur certaines classes de graphes signés. L’étude s’inscrit dans le cadre du problème de (2k + 1) / k -flot circulaire de Jaeger et de sa conjecture duale de Jaeger-Zhang sur la cartographie des graphes planaires de grande maille aux cycles impairs. De plus, notre travail comble l’écart de parité en introduisant les analogues bipartis de ces conjectures. Dans la première partie de la thèse, nous étendons la notion de coloration circulaire des graphes aux graphes signés, comme un raffinement de la 2k-coloration des graphes signés de Zaslavsky. Nous développons des outils, par exemple, des cliques circulaires signées, des cliques circulaires bipartis signées et des indicateurs signés, pour déterminer le nombre chromatique circulaire de graphes signés. Nous fournissons des bornes sur le nombre chromatique circulaire de plusieurs classes importantes de graphes signés: les graphes simples d-dégénérés signés, les graphes simples planaires bipartis signés, les graphes simples planaires signés et les graphes simples signés dont le graphe sous-jacent est k-colorable avec grande maille arbitraire. Dans la deuxième partie, en tant que notion duale de la coloration circulaire des graphes signés, nous introduisons la notion de flot circulaire dans les graphes signés mono-orientés. Ceci est différent du concept largement étudié des flots dans les graphes signés biorientés. Nous adaptons et étendons les idées de la théorie des flots sur les graphes aux graphes signés. Nous fournissons une série de résultats d’indices de flux de graphes signés avec des conditions d’arête-connectivité données. En particulier, la condition de (6p – 2)-arête-connectivité s’avère suffisante pour qu’un graphe eulérien signé admette un 4p / (2p – 1)-flow circulaire. Lorsqu’il est limité aux graphes planaires, nous prouvons un résultat plus fort: tout graphe planaire biparti signé de maille négative au moins 6p – 2 est circulaire 4p / (2p – 1) -colorable. C’est jusqu’à présent la meilleure borne de maille négative de l’analogue biparti de la conjecture de Jaeger-Zhang. La troisième partie se concentre sur le problème d’homomorphisme des graphes planaires signés (bipartis). Nous fournissons d’abord une borne supérieure améliorée et exacte sur le nombre chromatique circulaire des graphes simples planaires bipartis signés en utilisant le nombre de sommets comme un paramètre. Deuxièmement, motivés par une reformulation du théorème des 4 couleurs, avec la méthode de potentiel nouvellement développée, nous prouvons une borne inférieure de la densité d’arêtes des C_4-graphes signés critiques, et par conséquent, nous prouvons que tout graphe planaire biparti signé de maille négative supérieure au égale à 8 admet un homomorphisme à C_4 et que cette limite de maille négative est la meilleure possible. Troisièmement, en utilisant un résultat de coloration des arêtes dont la preuve est basée sur le théorème des 4 couleurs, nous montrons que tout graphe planaire biparti signé de maille négative supérieure ou égale à 6 admet un homomorphisme à (K3,3, M), qui pourrait être considéré comme un analogue du théorème de Grötzsch. Enfin, nous confirmons que la condition mad(G) < 14/5 est suffisante pour qu’un graphe signé admette un homomorphisme à (K6, M).

A signed graph is a graph G together with an assignment sigma : E(G) -> {+,-}. Graph coloring and homomorphism are two of the central problems in graph theory, and those notions and problems can be naturally extended to signed graphs. In this thesis, we introduce two dual notions: circular coloring of signed graphs and circular flow in mono-directed signed graphs, and explore the corresponding parameters: circular chromatic number and circular flow index on some classes of signed graphs. The study fits well into the framework of Jaeger’s circular (2k + 1) / k -flow problem and its dual Jaeger-Zhang conjecture on mapping planar graphs of large girth to odd cycles, and moreover, fills the parity gap by introducing the bipartite analogues of those conjectures. In the first part of the thesis, we extend the notion of the circular coloring of graphs to signed graphs, as a refinement of Zaslavsky’s 2k-coloring of signed graphs. We develop some tools, for example, signed circular cliques, signed bipartite circular cliques and signed indicators, to determine the circular chromatic number of signed graphs. We provide bounds on the circular chromatic number of several important classes of signed graphs: signed d-degenerate simple graphs, signed bipartite planar simple graphs, signed planar simple graphs, and signed simple graphs whose underlying graph is k-colorable with arbitrary large girth. In the second part, as a dual notion of the circular coloring of signed graphs, we introduce the notion of circular flow in mono-directed signed graphs. This is different from the widely-studied concept of the flows on bidirected signed graphs. We adapt and extend the ideas from the theory of flows on graphs to signed graphs. We provide a series of flow index results of signed graphs with given edge-connectivity conditions. Especially, the condition of (6p – 2)-edge-connectivity is proved to be sufficient for a signed Eulerian graph to admit a circular 4p / (2p – 1) -flow. When restricted to planar graphs, we prove a stronger result that every signed bipartite planar graph of negative-girth at least 6p – 2 is circular 4p / (2p – 1) -colorable. This is so far the best negative-girth bound of the bipartite analogue of the Jaeger-Zhang conjecture. The focus of the third part is on the homomorphism problem of signed (bipartite) planar graphs. We first provide an improved and also tight upper bound on the circular chromatic number of signed bipartite planar simple graphs using the number of vertices as a parameter. Secondly, motivated by a reformulation of the 4-color theorem, with the newly-developed potential method, we bound from below the edge-density of C_4-critical signed graphs and consequently, we prove that every signed bipartite planar graph of negative-girth at least 8 maps to C_4 and that this girth bound is the best possible. Thirdly, using an edge-coloring result whose proof is based on the 4-color theorem, we show that every signed bipartite planar graph of negative-girth at least 6 admits a homomorphism to (K3,3, M), which could be regarded as an analogue of the Grötzsch Theorem. Last, we confirm that the condition mad(G) < 14/5 is sufficient for a signed graph to admit a homomorphism to (K6, M).