Géométrie des variétés hyperkählériennes

Geometry of hyperkähler manifolds

• Auteur / Autrice : Jieao Song
• Direction : Olivier Debarre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Claire Voisin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Voisin, Brendan Hassett, Laurent Manivel, Emanuele Macrì, Daniel Huybrechts, Kieran G. O'Grady, Giulia Saccà
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Brendan Hassett, Laurent Manivel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Fano, Variétés de

Variétés symplectiques

Variétés kählériennes

Mots clés libres

Variétés hyperkählériennes

Variétés symplectiques holomorphes

Variétés de Debarre-Voisin

Variétés Fano de type K3

Hyperkähler manifolds

Holomorphic symplectic varieties

Debarre-Voisin varieties

Fano varieties of K3-type

Résumé

Cette thèse concerne la géométrie des variétés hyperkählériennes. Elle est composée de deux parties et cinq chapitres. Dans la première partie, on étudie quelques propriétés générales de ces variétés. Dans la deuxième partie, on se concentre sur une famille particulière de variétés hyperkählériennes projectives, dite de Debarre-Voisin, et étudie leur géométrie explicite. Au Chapitre 1, on rappelle quelques résultats de base bien connus sur les variétés hyperkählériennes. Au Chapitre 2, on étudie quelques aspects numériques des variétés hyperkählériennes. Premièrement, on montre une borne supérieure conditionnelle sur le deuxième nombre de Betti, en termes des constantes de Fujiki généralisées, ou de manière équivalente, en termes du polynôme de Riemann-Roch. Ensuite, on étudie la classe cohomologique d'un sous-espace lagrangien. On montre une formule pour la projection de la classe cohomologique vers la composante de Verbitsky. On propose aussi une formule conjecturale pour la classe entière dans le cas de K3^[n], qui a été vérifiée pour n jusqu'à 6. Au Chapitre 3, on étudie les espaces de modules et les applications des périodes pour les variétés hyperkählériennes projectives. En général, l'espace de modules pour les variétés hyperkählériennes polarisées avec un type de polarisation fixé n'est pas nécessairement connexe. Pour les K3^[n] et les Kum_n, on obtient une formule précise pour le nombre de composantes connexes, ainsi que le nombre des types de polarisation ayant un carré et une divisibilité donnés. Puis on étudie l'image de l'application des périodes polarisée, et on montre que lorsque l'espace de modules n'est pas connexe, les images de l'application des périodes peuvent être différentes si l'on se restreint sur des composantes différentes. Au Chapitre 4, on étudie les propriétés générales des variétés de Debarre-Voisin. Une telle variété est définie à partir d'un trivecteur, et on peut aussi lui associer deux autres variétés qui sont Fano de type K3. On obtient d'abord les critères de lissité pour ces trois variétés, et on donne un aperçu de la géométrie de l'espace de modules et de l'application des périodes. Ensuite, on relie les structures de Hodge entières sur les trois variétés, et on montre que les deux qui sont Fano satisfont la conjecture de Hodge entière. Ces résultats sont obtenus par une analyse détaillée de la géométrie de ces variétés le long de trois diviseurs spéciaux dans l'espace de modules. Au Chapitre 5, on étudie une variété de Debarre-Voisin spéciale qui admet un groupe d'automorphismes très grand, en appliquant les résultats généraux obtenus au Chapitre 4.

This thesis concerns the geometry of hyperkähler manifolds. It is divided into two parts and five chapters. In the first part, we study some general properties for such manifolds. In the second part, we focus on one particular family of projective hyperkähler manifolds called Debarre-Voisin fourfolds and study their explicit geometry. In Chapter 1, we recall some well-known basic results on hyperkähler manifolds. In Chapter 2, we study some numerical aspects of hyperkähler manifolds. First, we produce a conditional upper bound on the second Betti number, in terms of the generalized Fujiki constants, or equivalently, in terms of the Riemann-Roch polynomial. Then we study the cohomology class of a Lagrangian plane. We deduce a formula for the projection of the cohomology class to the Verbitsky component. We also propose a conjectural formula for the full class in the K3^[n]-type case, which is verified for n up to 6. In Chapter 3, we study the moduli spaces and period maps for projective hyperkähler manifolds. In general, the moduli space for polarized hyperkähler manifolds with a fixed polarization type is not necessarily connected. For K3^[n]-type and Kum_n-type, we deduce a precise formula for the number of connected components, as well as the number of polarization types with fixed square and divisibility. Then we study the image of the polarized period map, focusing on the known examples. We show that when the moduli space is not connected, the images of the period map restricted to different connected components can be different. In Chapter 4, we study the general properties of Debarre-Voisin fourfolds. Such manifolds are defined from a trivector, and there are two Fano varieties of K3-type that can also be associated with it. We first deduce the smoothness criteria for these three varieties, and provide a picture of the moduli space and the period map. Then we relate the integral Hodge structures of the three varieties, and show that the two Fano varieties satisfy the integral Hodge conjecture. This is obtained as a detailed analysis of the geometry of these varieties along three special divisors in the moduli space. In Chapter 5, we study a special Debarre-Voisin fourfold with a large automorphism group, using the general results obtained in Chapter 4.